贝塞尔函数的应用

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1、贝塞尔函数的应用一、函数贝塞尔固有函数展开按照斯图姆—刘维尔固有值理论，贝塞尔方程固有值问题的固有函数系J(x),(i1,2,3,)i组成区间[0,a]上的完备的正交函数系.任何一个在区间[0,a]上连续且只有有限个极大值和极小值的函数f(x),则可按固有函数J(ix)展开为如下形式的广义傅立叶级数(傅里叶-贝塞尔级数)fx()fJn(nx)n11a其中系数fn为fn2fx()J(nxdx)x0J(x)n该级数在区间[,a](0)上一致收敛第四章-

2、贝塞尔函数的应用2例1:在第一类齐次边界条件下，将函数2f(x)x,0x1展开成零阶贝塞尔函数J0(nx)的傅里叶—贝塞尔级数。解：设n,n1,2,3,为J0(x)0的正根，2xfJn0(nx),0x1,n1112而系数fn为fxJ(xdx)x.n20n0J(x)0n在第一类齐次边界条件下，J()0,0n212所以J(x)J().0n1n2第四章-贝塞尔函数的应用3d112fxJ(xdx)x.xJ(x)(xJx())1n200ndxJ(

3、x)0n1n13130xJ0(nxdx)03tJt0()dttnxnn1n2d13n2t(tJ())t(tJ(t)

4、n2tJtd()t)40141001dtnnJ1()2nd2J1()22n(tJt())n(tJt())

5、n424200dtnnnnJ()21n22J2(n)J()xJ()xJx()11nnx2J1(n)2(J()2Jx())Jx2()Jx0()Jx1()20n1xnnn

6、第四章-贝塞尔函数的应用413J1(n)4J(x)21J2().xJ0(nxdx)(12)0n1n02nn24那么,f(1),n2J()n1nn224因此,x(12)J0(nx),0x1.n1nJ1(n)n第四章-贝塞尔函数的应用5二、按贝塞尔函数展开求定解问题的解下面将举例说明如何用贝塞尔函数求定解问题的解。例2：有一质量均匀的金属圆柱体，半径为r0，柱高为l，圆柱侧面绝热，而上下两底面的温度分别保持为f2(r)和f1(r)，试求圆柱体内部稳定时的

7、温度分布。解：由于温度分布趋于稳定，圆柱体内部温度函数u(r,,z)满足定解问题第四章-贝塞尔函数的应用6222u1u1uu=02222rrrrzur(,,)z(4.2)0,ur(,,)zrr0rur(,,0)fr()1ur(,,)lfr()2设ur(,,)zRr()()(),Zz代入定解问题,得2''()m()0固有值问题(4.3)()(2),'()'(2)222rRr''

8、()rRr'()(rmRr)()0固有值问题(4.4)Rr'()0,R(0),0Zz''()Zz()0,(4.5)第四章-贝塞尔函数的应用72''()m()0固有值问题(4.3)()(2),'()'(2)22求解可得固有值为mnn,0,1,2,...求解可得固有函数为()AcosnBsinnnnn由于边界条件与无关，所以定解问题的解也与无关，()只能取常数，这对应于m=0的情况。事实上把u(r,,z)

9、代入边界条件可得Rr()()(0)Zfr(),1Rr()()()Zlfr().2根据上两个等式可知()只能取常数。第四章-贝塞尔函数的应用8m0222rRr''()rRr'()(rmRr)()0固有值问题(4.4)Rr'()0,R(0),01当0,方程为Rr''()Rr'()0,欧拉方程r通解为Rr()ClnrD.00Rr'()0,Rr(),Rr()D0,0为方便取Rr()1.当0,方程的通解为Rr()AJ(r)BN(

10、r),00由自然边界条件R(0)有限，得Rr()AJ(r).0其中满足J0'(r0)0第四章-贝塞尔函数的应用9m0222rRr''()rRr'()(rmRr)()0固有值问题(4.4)Rr'()0,R(0),0按照斯图姆—刘维尔固有值理论或贝塞尔函数零点2的性质，可设nn,以及0012n相应的固有函数系为1,J(rJ),(rJ),(r),.010203其中n为J0'(r