贝塞尔方程勒让德方程

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1、1第6章柱面坐标中的偏微分解法2贝塞尔方程34阶Bessel方程:一解：得到n阶第一类Bessel函数：在y1(x)中令5-n阶第一类贝塞尔函数：1、当时，Bessel函数与是线性无关的.注：当时，而当时，可见，当时，与的行为是完全不同的，是两个线性无关的特解.因此，通解为其线性组合.2、当n为整数时与是线性相关的.可重新定义一个与线性无关的函数作为特解，即诺伊曼函数6诺伊曼函数(第二类Bessel函数)为注:(1)可以验证诺伊曼函数是Bessel方程的解(2)当时,诺伊曼函数与第一类Bessel函数线性无关.(见课本P198)结论.当时，由的定义可见，它为与的线性组合，既然线性无关，显

2、然也是线性无关的；由此可见，无论与与n是否为整数，贝塞尔方程的通解均可表示为7第三类Bessel函数研究波动问题时，方程的通解习惯用汉克尔函数表示汉克尔函数的定义既然与是贝塞尔方程线性无关解，因此可以将它们作如下线性组合：它们也是贝塞尔方程的无关解，它们称为汉克尔函数(第三类贝塞尔函数).这样，贝塞尔方程的通解可以表示为8三类贝塞尔函数间的关系9§6.2贝塞尔函数的递推公式1011§6.3贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的渐近式当x很大时,n大于等于0为整数121.Jn(x)与Yn(x)在实轴上有无穷多个零点,分布与n值有关2.Jn(x)与Yn(x)的幅值正比于,在正实轴上衰减至零13146.

3、4贝塞尔级数1516171819202122232425262728293031323334例8.1（P257）35363738394041Fourier&LaplaceTransformDefineProperties线性性质对称性质延迟、位移性质相似性质DefineProperties线性性质对称性质(无)延迟、位移性质相似性质42卷积定理乘积定理微分性质积分性质卷积定理周期函数的像函数微分性质积分性质Def:Def:4344454647第九章Green函数法48495051引入Green函数使得一个非齐次方程与任意边值问题所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题，一般后

4、者的解容易求得.525354555657分离变量法：偏微分方程可实施分离变量的条件：对于常系数二阶齐次偏微分方程总是可以实施变量分离的；而对于变系数的二阶齐次偏微分方程则需要满足一定的条件,才可以实施变量分离.边界条件可实施变量分离的条件：只有当边界条件(第一类、第二类及第三类边界条件)为齐次的,方可分离出单变量未知函数的边界条件.达朗贝尔公式(行波法)处理的是无界问题、方程为齐次方程求解；积分变换法适宜于边界与方程均为非齐次时；有固定的解题程序；可以处理数学物理方程、积分方程、差分方程等；缺点：只可处理半无界或无界情形.Green函数法：可以处理有界或无界问题,方程可以是齐次或者非齐次

5、均可,核心是Green函数的求法.数理方程解法总结：58