同济大学高数 第一节 微分中值定理课件.ppt

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1、第三章微分中值定理和导数的应用第一节微分中值定理问题的提出已知微分的应用：即：猜测有以下定理：拉格朗日中值定理费马引理设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的有(或)则罗尔(Rolle)定理若函数在续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即则在内至少有一点使上连闭区间几何解释:罗尔定理的条件与结论1.注：罗尔定理的三个条件缺一不可2.3.例1对函数在区间上罗尔定理的正确性.验证不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.例2判断函数例3证明方程有且仅有一个小于1的正实根.拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理若函

2、数在闭区间上连续,内至少有一点使得在开区间内可导,则在注:拉格朗日公式的增量精确地表达了函数在一个区间上与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.即增量的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推论1如果函数在区间上的导数恒为零,那么在区间上是一个常数.推论2如果函数与在区间上恒有在区间上为常数).例4验证函数在上满足拉格朗日中值定理,并由结论求值.例5证明柯西(Cauchy)中值定理柯西(Cauchy)中值定理闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零,有一点使得如果函数及在那么在内至少判断对错:进一步的思考例6验证柯西中值定理对函数在区间上的正确性.例7设

3、函数在上连续,导.在内可试证明至少存在一点使中值定理的条件和结论名称条件结论罗尔定理拉格朗日定理柯西定理在上连续(1)在(2)内可导(3)在上连续(1)在(2)内可导在上连续(1)在(2)内可导使得使得使得1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理都要求函数思考（1）在闭区间连续（2）在开区间可导问：是否可以要求在闭区间可导？Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理2）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；Fermat定理中值定理的应用(1)常用于其他定理的证明；(2)用于证明恒等式、不等式、中值的存在性，应逐步熟悉构造辅助函数证题的方法

4、.方程的根的中存在性、（一）罗尔中值定理的应用1、研究函数的零点例8设为的实数,试证明方程在内至少存在一个实根.满足例9设函数在上连续,导,在内可且若存在常数使得试证至少存在一点使得例10设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.（一）罗尔中值定理的应用2、研究函数性质，证明含中间值的等式例11证明当时,（二）拉格朗日中值定理的应用1、证明不等式例12设是在上可导的函数,且单调减少,试证:对于恒有（二）拉格朗日中值定理的应用2、推断函数性质例13（二）拉格朗日中值定理的应用3、证明恒等式