高数01第三章第一节微分中值定理ppt课件.ppt

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1、第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理及导数的应用洛必达法则费马引理(求型极限）一、罗尔(Rolle)定理§3.1微分中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值(Cauchy)定理理解罗尔定理和拉格朗日微分中值定理重点:罗尔定理和拉格朗日中值定理难点:用中值定理证题§3.1微分中值定理函数的极值(P132)1.定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.注意:为极大点为极小点不是极值点2)极值点不是端点.1)函

2、数的极值是函数的局部性质.3)极大值有可能比极小值要小.4)最大/小值是全局性质.微分中值定理的引入(((费马(Fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:设费马(Fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在几何意义：若函数在极值点处可微，则函数在极值点必有一条水平的切线。定义：称使一阶微商f’(x)=0的点为函数的驻点费马引理表明，对可微函数而言，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。例：y=x3在x=0处注意，不可微的点也有可能是极值点!罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存

3、在一点例如,证在(a,b)内至少存在一点使由费马引理知,在(a,b)内至少存在一点使(注:前面不提费马引理,需要用此页内容)1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,2)定理几何意义:存在平行于x轴的切线.3)定理的代数意义是:在(a,b)内至少有一个根.零点定理是利用函数f(x),判断方程f(x)=0的根;罗尔定理是利用函数f(x),判断方程的根.方程使4)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.注:此页内容可不讲例1证由零点定理矛盾,惟一性存在性例2.证明方程:至少有一个正根且不超过1.

4、思考:用零点定理?在[0,1]连续,且设两者异号吗?返回思考:用罗尔定理?例2.证明方程:至少有一个正根且不超过1.即是原方程的一个正根且不超过1.证:设则在[0,1]上可微,且f(0)=0=f(1)由罗尔定理知使得=0返回第一步构造函数确定区间第二步验证定理条件第三步写定理结论第四步写原题结论补例:设且在内可导,证明至少存在一点使证:即设则F(x)在由罗尔定理知使得=0上连续,在(0,π)内可导,且F(0)=0=F(π)存在二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[

5、a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:结论的代数意义即定理结论成立.证毕有根.拉格朗日公式各种形式说明拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.微分dy只是近似.推论1:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在I上为常数.几何解释:例3.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.练习:推论2:若函数在区间I上满足则例4.证明不等式证:例4.证明不等式证:第一步构造函数确定区间第二步验证

6、定理条件第三步写定理结论第四步对f’(ξ)变形(放大缩小)例5.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有所以三、柯西(Cauchy)中值定理及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:说明:(1)当g(x)=x时柯西中值定理就是拉格朗日定理即,柯西中值定理是拉格朗日定理的推广.(2)柯西中值定理的变形柯西中值定理的证明：构造辅助函数几何解释:返回注意:思考:柯西定理的下述证法对吗?上面两式相比即得结论.错!两个不一定相同证明：例5.证:令结论的代数意义是设函数在[a,b]上连续，(a,b)内可导.(a>0)有根.在

7、[a,b]上满足…则即…即有根.(等价变形的目的?)另证:结论可变形为设则在[a,b]上满足柯西中值定理条件,因此在(a,b)内至少存在一点,使即证明：例5.设函数在[a,b]上连续，(a,b)内可导.(a>0)内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论证明的关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理(4)讨论方程的根罗