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1、假设1：对于一个微观体系，它的状态和有关情况可以用波函数ψ(x,y,z,t)来表示。ψ是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标函数，也是时间函数。不含时间的波函数ψ（x,y,z)称为定态波函数。本课程只讨论定态波函数。量子力学是描述微观体系运动规律的科学.例如：对一个两粒子体系,Ψ=Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t)，其中x1,y1,z1为粒子1的坐标；x2,y2,z2为粒子2的坐标；t是时间。1.2.1波函数ψ和微观粒子的状态ψ*ψ=(f-ig)(f+ig)=f2+g2因此ψ*ψ是实数，而且是正值。为
2、了书写方便，有时也用ψ2代替ψ*ψ。Ψ的形式可由光波推演而得，根据平面单色光的波动方程：Ψ=Aexp[i2π(x/λ-t)]将波粒二象性关系E=hν，p=h/λ代入，得单粒子一维运动的波函数Ψ=Aexp[（i2π/h）(xpx-Et)]ψ一般是复数形式：ψ=f+ig,f和g是坐标的实函数，ψ的共轭复数为ψ*,其定义为ψ*=f-ig。为了求ψ*，只需在ψ中出现i的地方都用–i代替即可。由于在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将ψ*ψ称为概率密度，它就是通常所说的电子云；ψ*ψdτ为空间某点附近体积元
3、dτ(≡dxdydz)中电子出现的概率。ψ(x,y,z)在空间某点的数值，可能是正值，也可能是负值。微粒的波性通过ψ的+、-号反映出来，这和光波是相似的。+、-号涉及状态函数(如原子轨道等)的重叠。ψ的性质与它是奇函数还是偶函数有关偶函数：ψ(x,y,z)=ψ(-x,-y,-z)奇函数：ψ(x,y,z)=-ψ(-x,-y,-z)波函数的奇偶性涉及微粒从一个状态跃迁至另一个状态的几率性质（选率）。平方可积：即在整个空间的积分∫*d应为一有限数，通常要求波函数归一化，即∫*d＝1。合格波函数的条件由于波
4、函数描述的波是几率波，所以波函数ψ必须满足下列三个条件：单值：即在空间每一点ψ只能有一个值；连续：即ψ的值不会出现突跃，而且ψ对x，y，z的一级微商也是连续函数；符合这三个条件的波函数称为合格波函数或品优波函数。波函数1.2.2物理量和算符假设2：对一个微观体系的每个可观测的物理量，都对应着一个线性自轭算符。算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。如：sin，log等。线性算符：Â(1＋2)＝Â1＋Â2自轭算符：∫1*Â1d＝∫1(Â1)*d或∫1*Â2d＝∫2(Â1)*d
5、例如，Â＝id/dx，1＝exp[ix]，1*＝exp[-ix]，则，∫exp[-ix](id/dx)exp[ix]dx＝∫exp[-ix](-exp[ix])dx＝-x.∫exp[ix](id/dx)exp[ix]*dx＝∫exp[ix](-exp[ix])*dx＝-x.·量子力学需用线性自轭算符，目的是使算符对应的本征值为实数。物理量算符位置x动量的x轴分量px角动量的z轴分量MZ=xpy－ypx动能T=p2/2m势能V总能E=T+V=xPx=－(ih/2π)(∂/∂x）MZ=－（ih/2π)[x（
6、∂/∂y）－y（∂/∂x)]T=－（h2/8π2m)(∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2）=－（h2/8π2m）▽2V=VH=－（h2/8π2m）▽2+V若干物理量及其算符Ψ=Aexp[(i2π/h)(xpx－Et)]∂Ψ/∂x=Aexp[(i2π/h)(xpx－Et)]d/dx[(i2π/h)(xpx－Et)]=(i2π/h)(pxΨ)PxΨ=－(ih/2π)(∂Ψ/∂x)算符Px算符Px=－(ih/2π)(∂/∂x)推演：∴Px=－(ih/2π)(∂/∂x)假设3：若某一力学量A的算符A作用于某一状态函
7、数ψ后，等于某一常数a乘以ψ，即Aψ=aψ那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，其力学量A具有确定的数值a，a称为力学量算符A的本征值，ψ称为A的本征态或本征波函数，上式称为A的本征方程。1.2.3本征态、本征值和Schrödinger方程dψ/dx=d[aexp(-ax)]/dx=-a2exp(-ax)=(-a)aexp(-ax)=(-a)ψ∴本征值为–a例题1：ψ=aexp(-ax)是算符d/dx的本征函数，求本征值。例题2：ψ=aexp(-ax)是算符d2/dx2的本征函数,求本征值。d2ψ/dx2=d2[a
8、exp(-ax)]/dx2=-a2d[exp(-ax)]/dx=a3exp(-ax)=a2aexp(-ax)=a2ψ∴本征值为a2自轭算符的本征值一定为实数：Â＝a，两边取复共轭，得，(Â)*＝a**，由此二式可得：∫*(Â)d＝a∫*d，∫(Â)*d＝a*∫*d由自轭算符的定义式知，∫*Âd＝∫(Â)*d故，a∫*d＝a
