结构化学课件13.ppt

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1、结构化学基础一个质量为m的粒子，在一维x方向上运动。0，0﹤x﹤lV=∞，x≤0和x≥lV=∞V=0V=∞0xl此二阶齐次方程的通解为：ψ=c1cos(8π2mE/h2)1/2x+c2sin(8π2mE/h2)1/2x1.3箱中粒子的Schrödinger方程及其解Schrödinger方程：n≠0∴E=n2h2/8ml2Ψ（x）=c2sin(nπx/l）=(2/l)1/2sin(nπx/l）c2=(2/l)1/2根据品优波函数的连续性和单值条件，当x=0和x=l时，ψ=0即x=0时ψ（0）=c1cos(0)+c2sin(0)=

2、0则：c1=0x=l时Ψ（l）=c2sin(8π2mE/h2)1/2l=0c2不能为0故必须是:(8π2mE/h2)1/2l=nπn=1，2，3，…C2可由归一化条件求出令讨论：1、n称为量子数，只可能取正整数。2、画出ψn(x)及Ψn2(x)3、零点能、节点及节点数++--n=4n=3n=2n=1n=3n=2n=1++++--E1E2E3E4ψ1(x)ψ2(x)ψ32(x)ψ4(x)ψ42(x)ψ22(x)ψ12(x)ψ3(x)一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度n=4体系的波函数与能量：当n=1时，体系处于基态。当n=2时

3、，体系处于第一激发态。当n=3时，体系处于第二激发态。讨论：势箱中自由粒子的波函数是正弦函数，基态时，l长度势箱中只包含正弦函数半个周期，随着能级升高，第一激发态包含一个周期，第二激发态包含正弦波一个半周期……。随着能级升高，波函数的节点越来越多。而几率分布函数告诉我们自由粒子在势箱中出现的几率大小。例如：基态时，粒子在x=L/2处出现几率最大。而第一激发态，粒子在x=L/2处出现几率为0，在L/4,3L/4处出现几率最大。势箱中粒子的量子效应：1.粒子可以存在多种运动状态，它们可由Ψ1，Ψ2，…，Ψn等描述；2.能量量子化；3

4、.存在零点能；4.没有经典运动轨道，只有几率分布；5.存在节点，节点多，能量高。箱中粒子的各种物理量只要知道了，体系中各力学量便可用各自的算符作用于而得到：（1）粒子在箱中的平均位置粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为0.5，即图形对势箱中心点是对称的。（2）粒子动量的x轴分量px（3）粒子的动量平方px2值一维试箱模型应用示例丁二烯的离域效应：E定=22h28ml2=4E1E离=2h2/8m(3l)2+222h2/8m(3l)2=(10/9)E1势箱长度的增加，使分子能量降低，更稳定

5、。CCCCCCCCE14/9E11/9E1定域键离域键lll3l花菁燃料的吸收光谱[R2N¨－(CH＝CH－)rCH＝N+R2]势箱总长l＝248r+565pm，共有2r＋2＋2个电子，基态时需占r+2个分子轨道，当电子由第（r+2）个轨道跃迁到第（r+3）个轨道时，需吸收光的频率为=△E/h=(h/8ml2)[(r+3)2-(r+2)2]=(h/8ml2)(2r+5),由=c/，=8ml2c/(2r+5)hr计算实验311.6309.0412.8409.0514.0511.0说明此体系可近似看做一维势箱。量子力

6、学处理微观体系的一般步骤：①根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger方程；②解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及En，求得n③描绘n，n*n等图形，讨论其分布特点；④用力学量算符作用于n，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；⑤联系实际问题，应用所得结果。三维势箱中粒子运动的Schrödinger方程：三维势箱中粒子运动的波函数：三维势箱能级表达式：简并态：能量相同的各个状态。简并度：简并态的数目三维无限深正方体势阱中粒子的简并态题1.已知一个在一维势箱中运动的粒子，其波

7、函数为：求此波函数的归一化常数A。解：题2：函数是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。解：该函数是长度为a的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为和都是一维势箱中粒子的可能状态，根据量子力学的基本假设-态叠加原理，它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。因为所以(x)不是Ĥ的本征函数，即其能量无确定值。按以下步骤计算其平均值：将ψ(x)归一化，设ψ’(x)=cψ(x)，即：ψ(x)所代表的状态的能量平均值为：作业P2015,17,18,20