chapter 5 定积分计算 - 复旦大学精品课程.doc

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2012.02)Chapter1ComplexnumberandfunctionsofcomplexvariableYLMa@Phys.FDUChapter1复数和复变函数一、复数的基本概念(Basicconceptsofcomplexnumber)形如(，)的数称为复数。（两元素两算子与四元素四算子）1．复数（Complexnumber）的三种形式：1)，（）代数式：;（缺点：无法表示多值函数的高相位）三角式：;指数式：，其中.称为欧拉公式。2)一些术语（terminology）和

2、符号(notation):,实部（Realpart）,，虚部（Imaginarypart）.，模（Modulus）,称为幅角（Argument），记作.而将满足或的值称为幅角的主值或主幅角，记为，因此有.当取时，有关系26MethodsofMathematicalPhysics(2012.02)Chapter1ComplexnumberandfunctionsofcomplexvariableYLMa@Phys.FDU3)，称为的复共轭或共轭复数(Complexconjugateof)，当然，也是的复共轭。注意：*复数无大小。但它们的模之间

3、可以比较大小。**的充要条件为;1．复数的几何表示：复平面（Complexplane）：通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点或与复数或做成一一对应，此时的平面称为复平面,其自由矢量为2．复数的运算规则：设，.1)加法：满足交换律和结合律。减法：.加减法的几何解释与向量加减法相似，三角形法则（自由矢量，可以平移）。2)乘法：（）——和多项式乘法一样,乘积的模=模的乘积。，乘积的幅角=幅角的和。特别地，.乘法的几何解释：在0x轴上取单位线段0I，26MethodsofMathematicalPhysics(2012.02)Chapter1Com

4、plexnumberandfunctionsofcomplexvariableYLMa@Phys.FDU作和相似，那么P点就表示乘积这是因为3)除法：假设,，.几何解释（）：先看，若，过点作射线Oz的垂线，交单位圆周于T，过T作单位圆周的切线，这条切线与Oz的交点就是，而它关于轴的对称点为.设点到的距离为，解得若，只需先作切线，再作垂线。若，.4)整数幂：,----DeMoivre公式。1．复数运算的一些基本性质：（两个重要不等式）1），三角形两边之和大于第三边;26MethodsofMathematicalPhysics(2012.02)

5、Chapter1ComplexnumberandfunctionsofcomplexvariableYLMa@Phys.FDU，三角形两边之差小于第三边。证明：利用,2）.3）..1．复球面与无穷远点：考虑一半径为R的球面S（），点(0,0,0)称为南极，与复平面的原点重合，点(0,0,2R)称为北极，记为N.对于C中的任一有限远点，它与N连接的直线只与S交于一点，反之，球面S上任意一点（N点除外），它与N连接的直线也只与C交于一点.所以，除N点外，球面S上的点和复平面C上的点都是一一对应的。对于N点，我们发现，当时，，因此在复平面C中引进

6、一理想点，作为与N对应的点，称为无穷远点，记为。加上无穷远点的复平面称为扩充复平面，也叫闭复平面，记为。不包含无穷远点的复平面C称为有穷复平面，也叫（开）复平面。这样，与S建立起来的一一对应，称为球极射影。S称为复球面。注意：*无穷远点只有一个，其模，而幅角是不定的。**同样对于点，模为0，幅角是不定的。***：作变换，或复球面均是就大而言，其中为N与点之间的距离。26MethodsofMathematicalPhysics(2012.02)Chapter1Complexnumberandfunctionsofcomplexvariable

7、YLMa@Phys.FDU二、复变函数（Functionsofcomplexvariable）1.区域的概念：点集：由复数点组成的集合。例如，，表示以原点为圆心，半径为1的圆（单位圆）的内部。，表示以为焦点，半长轴为2的椭圆。点的邻域：对于实数，满足条件的点的全体称为点的邻域，记为。点的邻域：满足条件（R是正实常数）的所有点z的集合，即以点为圆心，R为半径的圆的外部，记为。点集E的内点：设平面上给定一点集E，如果及其某邻域的点全部属于E，则称为点集E的内点。点集E的外点：设平面上给定一点集E，如果及其某邻域的点全部不属于E，则称为点集E的外

8、点。点集E的边界点：设平面上给定一点集E，如果的任一邻域中都含有E和非E的点，则称为点集E的边界点。区域D：满足下面两条的点集称为区域。a）D为开集:D中的每一点都是内点区域全由