理论力学 10 质点运动微分方程课件.ppt

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1、10质点运动微分方程在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题，但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究了物体的机械运动。动力学(Dynamics)则将对物体的机械运动进行全面分析，不仅分析物体的受力和物体的运动，而且通过动力学定理将二者联系起来。因此，动力学是研究物体的机械运动与作用力之间关系的科学。动力学研究的两类力学模型是：质点（Particle）和质点系（Syst

2、emofparticles）。所谓质点，是指具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。例如，在研究地球环绕太阳的运行规律时，就可以不考虑地球的形状和大小尺寸，而把它抽象为一个质量集中于质心（Centerofmass）的质点；所谓质点系，是指由有限个或无限个有一定联系的质点所组成的系统。这样，任何物体（包括固体、液体、气体）都可以看作是某个质点系。刚体则是各质点之间距离保持不变的特殊质点系。动力学可分为质点动力学和质点系动力学。前者是后者的基础。第一定律（惯性定律）10.1动力学基本定律不受任何力作用的质点，将

3、保持静止或作匀速直线运动。首先，定律指出不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于静止状态，就是保持匀速直线运动。这种性质称为惯性（Inertia）。第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故又称为惯性定律。其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就是力。第二定律（力与加速度关系定律）（10-1）式（10-1）称为质点动力学基本方程。当质点同时受多个力作用时，式（10-1）右端的F应理解为是这些力的合力，即由该定律可知，以同样的力作用在不同质量的质点上，质量愈大的质点获

4、得的加速度愈小，也就不易改变它的运动状态。这就说明了较大的质量具有较大的惯性。因此，质量是质点惯性的度量。质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律可表示为在第二定律中，力与加速度是瞬时关系，即只要某瞬时作用在质点上的合力不为零，则在该瞬时必有确定的加速度；没有力作用或作用的合力为零，则加速度为零。在地球表面，物体受重力G作用而产生的自由落体加速度g称为重力加速度。设物体的质量为m，根据第

5、二定律则有：（10-2）在国际单位制中质量，长度和时间的单位被作为基本单位。质量的单位为千克(kg),长度的单位为米(m)，时间的单位为秒(s)。力的单位是导出单位，即使质量为1kg的物体的物体获得1m/s2的加速度的力，称为1牛顿(N)。即1N=1kg×1m/s2第三定律（作用与反作用定律）两质点相互作用时，两质点间相互作用力，总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，分别作用在这两质点上。这个定律不仅适用平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。在动力学问题中，这一定律仍然是分析两个物体相互作用关系的依据。动力学基本定律

6、中所说的静止，速度，加速度等都只是相对于某种参考系而言的。使动力学基本定律正确成立的参考系称为惯性参考系。在一般的工程技术问题中，如果忽略地球的自转和公转而不致带来大的误差时，可以近似地把固结于地球上的参考系看作惯性参考系。在以后如无特别说明，我们均取固定在地球上的参考系作为惯性参考系。10.2质点运动微分方程牛顿第二定律，建立了质点的加速度与作用力的关系。当质点受到n个力F1，…，Fn。作用时，式（10-1）写成(10-3)将式（10-3）中的加速度表示为位置参数的导数形式，就得到各种形式质点运动微分方程。10.2.

7、1矢量形式设质点M的质量为m，作用于其上的合力为：矢径为r，加速度为a，如图10-2所示。oxyzrM(x,y,z)Fv图10-2由运动学知：代入式（10-3）得（10-4）式（10-4）即为质点运动微分方程的矢量形式。10.2.2直角坐标形式把式（10-4）投影到直角坐标系oxyz的三个坐标轴上（见图10-2），并注意到得质点运动微分方程的直角坐标形式：(10-5)10.2.3自然坐标形式设已知质点M的轨迹曲线如图10-3所示。以轨迹曲线上质点所在处为坐标原点，取自然轴系，并把式（10-3）向各轴投影，由运动学知：分

8、别表示加速度a和力F在自然轴轴上的投影，则(10-6)式（10-6）称为质点运动微分方程的自然坐标形式。在运动轨迹己知的情况下，宜采用自然形式的方程。10.3质点动力学的两类基本问题第一类问题——己知质点的运动，求作用于质点上的。若己知质点的运动轨迹，选择相应坐标系，列出质点的运动方程，运用微分运算，便可求得加速度在坐标轴上的投影