垂直于弦直径（一）.doc

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1、垂直于弦的直径（一）一、教学目标：（1）知识目标①使学生理解圆的轴对称性。②掌握垂径定理，并学会运用垂径定理，解决有关的证明，计算。③掌握过圆心作一条与弦垂直的线段的辅助线的作法。（2）、能力目标　①通过探究、发现定理，培养学生观察，分析、逻辑思维能力和归纳能力②提高学生的阅读质疑能力，通过选择最优方法、培养学生思维的灵活性。（3）、情感目标　①通过垂径定理的证明，渗透几何变换思想。　②师生共同探究定理，师生共作，充分发挥学生学习的主体作用，激发学生探究数学问题的兴趣。2、教学重点：垂径定理的内容、应用及有关辅助线的作法。3、教学难点：

2、理解垂径定理的题设和结论及垂径定理的证明方法。4、教学方法：启发式，先做后说，师生共作。5、教具：课件教学过程一、创设情境问题1：圆具有什么性质呢？请同学们把自己画的圆（课前让学生准备好）对折一下发现什么？这说明圆是一个什么图形？它有多少条对称轴？（显示：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴）。今天我们就利用圆的轴对称来研究“垂直于弦的直径”的问题。（板书课题）问题2：（教师出示一个擦去圆心的圆心纸片）问：大家能不能用折叠的方法把这个圆的圆心找到？二、分析猜想1、  把折线找圆心的方法投影在屏幕上（给出另一种情况，学生未得

3、到，教师直接给出）两种不同的情况在于直径的位置关系不同。教师问，学生观察，猜想。学生回答，教师引导补充：一个是斜交，另一个是垂直。　　　　　　　　2、问题：在直径CD的两侧相邻的两条弧是否相等？学生观察，回答：右图中=，=。3、若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，刚才的结论还成立吗？学生观察，归纳出上述结论依然成立。4、要求学生在圆纸片上画出上图，并沿CD折叠。（教师利用投影，增加效果）5、通过折叠、观察，大家还发现什么结论？（另外还有：AE=BE）三、论证评价1、证明这个结论是同学们通过实验猜想出来的，能否从理论上证

4、明它呢？下面讨论它的证明（在上述板书中加上“已知”、“求证”）。分析：从刚才的实验中知道：把圆沿直径CD所在直线对折后发现线段AE与BE重叠，与重叠，与重叠，因此它们分别相等。现在我们中要研究这样折叠为什么会重叠就行了。证明：……(教师用实物边演示边用电脑在屏幕上逐句显示文字表达及图中有关的部分)：（1）连接OA、OB。（2）分加用亮条显示CD左右两侧的两个半圆，然后在右侧着色。（3）用亮光显示点A、B。（4）用亮条显示AE、BE。（5）用亮条显示、、、。2、形成定理经过证明这个命题是正确的，我们把它作为一个定理，谁能将这个定理用一句话

5、把它表达出来？（根据学生回答板书；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）。强调：定理的题设有两个：①直径   ②垂直于弦结论：①平分弦  ②平分弦所对的两条弧（1）若将上述图形变为：0E⊥AB于E，则AE与BE相等吗？（如图5）投影显示：（2）若只满足CD是直径（如图6）或CD⊥AB（如图7），则上述结论还成吗？（强调：两个条件缺一不可）　　　　　　　因此定理又可表述为：（显示）          CD是直径                 AE=BE（或CD过圆心）        =CD⊥AB               

6、    =四、推广应用1、例题分析：（投影）如图：已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心0到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。（1）分析：“圆心0至AB的距离为3 cm”指的是哪一条线段？要求半径必须连结OA。（分别显示OE⊥AB于E、OA）（2）添出辅助线后启发学生思考解法，然后师生同时给出解答。2、变式训练练习：如上图，OE⊥AB于E，口答：①若OE=1，OA=2，则AB=_________；②若AB=1，∠AOE=30º，则OE=_________；③若OE=6cm，AB=16cm，则⊙O的直径为________cm。小结：①辅助

7、线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的辅助线；②若圆的半径为r，圆心到弦的距离为d，弦长为a，则r、a、d间有什么关系？根据什么？（由学生归纳出r2=d2+（）2,并用投影显示）因此已知r、d、a中的两个量就可求出第三个量。变式1：若以O为圆心，再画一个圆交弦AB于C、D，则AC与BD间可能存在什么关系？（教师口述，电脑显示）　　　（由学生作出判断后思考证法）注：估计学生会提出方法1、2，此时教师可有意识引导学生进行计论，方法3只有当学生提出时才作简单分析。最后通过比较择优，进一步突出“过圆心作弦的垂线段”这条辅助线的重要性和应用垂

8、径定理的优越性。变式2：（电脑演示）①若将AB弦往下平移，AC和BD仍相等吗？②当移到过圆心时，AB是大圆直径，CD是小圆直径，AC=BD，属特殊情形。③当AB移到与小圆只有一个交点时（如图），AC与BC相