垂直于弦直径(一)

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1、垂直于弦的直径（一） 一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；2．掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；3．能初步应用垂径定理进行计算和证明．（二）能力训练点1．培养学生独立思考、勇于创新精神；2．进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．（三）德育渗透点1．结合本课教学特点，向学生进行美育教育；2．逐步树立已知与未知，一般与特殊的思考方法．二、教学重点、难点和疑点1．重点：垂径定理及应用．2．难点：垂径定理的证明．3．疑点：垂径定理的题设是“直径垂直于弦”，学生容易

2、忽略是“直径”．教师教学中要有意举一些容易错的例子，加深对定理的理解．三、教学步骤（一）明确目标请同学们回答下列问题：1．如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做________；那么这条直线叫做________．2．等腰三角形是轴对称图形吗？3．“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？教师利用提问1．，2．的形式，复习轴对称图形的概念．提问3．的目的是引出本节课的第一个知识点．在学生回答后，引导学生观察电脑演示将圆对折的情形．教师讲解将圆沿着一条直径对折，你观察到了什

3、么情况？这时学生回答，教师板书．圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．接着电脑继续演示，教师讲解：由图7-9（1）中CD为⊙O的直径；变到图7-9（2）中在⊙O上任意取一点A；再变到图7-9（3）从点A作直径CD的垂线交⊙O于另一个交点B．这时我们可以看出图（3）中的点B与点A是否是对称点呢？A、B是关于什么对称．教师进一步提出当直径CD垂直于弦AB，将能得到什么结论呢？这就是本节学习的内容．“7．3垂直于弦的直径（一）”．教师这样引入课题的目的，使学生从认识上初步完成实验——观察——感性——

4、理性的认识过程．逐步学会从实践中引入、从现象中抽象、从事实中概括，从而激发学生的学习动机．（二）整体感知为了使学生进一步通过实验的观察，很快地概括出本课的教学内容，由图7-9（1）可知CD所在直线是⊙O的对称轴；到图7-9（2）从⊙O上取一点A，过点A作直径CD的垂线交⊙O于点B，得到图7-9（3），这时沿着CD折叠，引导学生观察重合部分，学生纷纷猜想结论．通过实验——观察——猜想获得感性认识．这个实验结论是否正确，还需要证明．学生带着一种好奇心，积极主动参与到证明这个结论中去．学生回答证明过程，教师板书．

5、已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB，=，=．证明：连结OA，OB，则OA=OB．又CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是△O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，=，=．从而得到圆的一条重要性质．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．教师这样从设计电脑演示的全过程，目的是指导学生注重知识的发生、发展过程．使学生在观察中不知不觉地接受了新知识，既获得

6、了知识，又产生了浓厚的兴趣．（三）重点、难点的教学及目标完成过程垂径定理是由演示实验——观察——感性——理性的全过程．为了使学生能够真正理解垂径定理，引导学生分析垂径定理的题设和结论，加深对定理的认识并强化用数学表达式表示出来：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．〈2〉                 〈1〉〈3〉                             〈4〉〈5〉把直径化分为（1）；把垂直于弦化分为（2）；把平分弦化为（3）；平分优弧化为（4）；平分劣弧化分为（5）．为

7、了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．这样做目的是加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混．接着为了巩固垂径定理，引导学生完成下面两道题．例1 如图7-10，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．教师分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，学生回答，教师板书计算过程．解：连结OA，作OE

8、⊥AB，垂足为E．∵OE⊥AB，∴AE=EB．∵AB=8cm，∴AE=4cm．又∵OE=3cm，在Rt△AOE中，∵⊙O的半径为5cm．教师强调：从例1可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样．求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来．例2 已知：如图7-11，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点