2019年高考数学总复习检测第60讲 抛物线.pdf

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1、第60讲 抛物线1.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离为4,则点P到该抛物线的焦点的距离是(B)A.4B.6C.8D.12因为y2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,由P到y轴的距离为4知,P到准线的距离为6,由抛物线的定义知P到焦点F的距离为6.2.(2013·新课标卷Ⅰ)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为C上一点,若

2、PF

3、=42,则△POF的面积为(C)A.2B.22C.23D.4设P(x0,y0),则

4、PF

5、=x0+2=42,所以x0=32,所以y20=42x0=42×32=24,所以

6、y0

7、=26,因为F(2,0),

8、11所以S△POF=

9、OF

10、·

11、y0

12、=×2×26=23.223.如果P1,P2,…,Pn是抛物线C:y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+…+xn=10,则

13、P1F

14、+

15、P2F

16、+…+

17、PnF

18、=(A)A.n+10B.n+20C.2n+10D.2n+20p由抛物线的定义可知

19、PiF

20、=xi+=xi+1,2所以

21、P1F

22、+

23、P2F

24、+…+

25、PnF

26、=(x1+x2+…+xn)+n=10+n.k4.(2016·新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,xPF⊥x轴,则

27、k=(D)1A.B.123C.D.22k因为y2=4x,所以F(1,0).又因为曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,所以xkP(1,2).将点P(1,2)的坐标代入y=(k>0)得k=2.故选D.x5.(2018·广东七校联考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若3

28、AF

29、=3,则

30、BF

31、=.2设A,B的横坐标分别为xA,xB,p由抛物线的定义可知

32、AF

33、=xA+=xA+1=3,2所以xA=2,p2又AB是抛物线的焦点弦,xA,xB满足xA·xB==1,41p13所以xB=,所以

34、BF

35、=xB+=+1=.2222x2y26

36、.(2016·湖南省六校联考)若以双曲线-=1(b>0)的左、右焦点F1,F2和点M(1,2)2b2为顶点的三角形为直角三角形,则y2=4bx的焦点坐标为(1,0).显然点M(1,2)为直角顶点,1所以

37、OM

38、=3=

39、F1F2

40、=c,所以b=1.2故抛物线为y2=4x,其焦点为(1,0).7.已知斜率为1的直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)求直线l的方程(用p表示);(2)若设A(x1,y1),B(x2,y2),求证:

41、AB

42、=x1+x2+p;(3)若

43、AB

44、=4,求抛物线方程.p(1)因为抛物线的焦点F的坐

45、标为(,0),2又因为直线l的斜率为1,p所以直线l的方程为:y=x-.2(2)证明:过点A,B分别作准线的垂线AA′,BB′,交准线于A′,B′,则由抛物线的定义得:

46、AB

47、=

48、AF

49、+

50、BF

51、=

52、AA′

53、+

54、BB′

55、pp=x1++x2+=x1+x2+p.22(3)由

56、AB

57、=4,得x1+x2+p=4,p直线y=x-与抛物线方程联立,2p2Error!⇒x2-3px+=0,4由韦达定理,得x1+x2=3p,代入x1+x2+p=4,解得p=1,故抛物线方程为y2=2x.8.(2017·新课标卷Ⅱ)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点

58、M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(C)A.5B.22C.23D.33抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y=3(x-1).联立得方程组Error!解得Error!或Error!因为点M在x轴的上方,所以M(3,23).因为MN⊥l,所以N(-1,23).所以

59、NF

60、=1+12+0-232=4,

61、MF

62、=3-12+232=4,

63、MN

64、=3+12+23-232=4.所以△MNF是边长为4的等边三角形.所以点M到直线NF的距离

65、为23.→→9.已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足AF=2FB,则弦AB的中点到9抛物线准线的距离为.4设AB的中点为C,AB的延长线与准线相交于D,设A,B,C,F在准线上的投影分别为A′,B′,C′,F′,设FB=t,则AF=2t,由抛物线的定义,知AA′=2t,BB′=t,所以BB′为△DA′A的中位线,所以BD=3t,DFDC由△DF′F∽△DC′C,得=,FF′C′C33t+t3t+t29所以=,解得C′C=.2C′C410.(2016·江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px

66、(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线

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