2019届高考数学总复习 第九单元 解析几何 第60讲 抛物线检测

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1、第60讲　抛物线1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线的焦点的距离是(B)A．4B．6C．8D．12因为y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x＝－2，由P到y轴的距离为4知，P到准线的距离为6，由抛物线的定义知P到焦点F的距离为6.2．(2013·新课标卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若

2、PF

3、＝4，则△POF的面积为(C)A．2B．2C．2D．4设P(x0，y0)，则

4、PF

5、＝x0＋＝4，所以x0＝3，所以y＝4x0＝4×3＝24，所以

6、y0

7、＝2，因为F(，0)，所以S△POF＝

8、O

9、F

10、·

11、y0

12、＝××2＝2.3．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则

13、P1F

14、＋

15、P2F

16、＋…＋

17、PnF

18、＝(A)A．n＋10B．n＋20C．2n＋10D．2n＋20由抛物线的定义可知

19、PiF

20、＝xi＋＝xi＋1，所以

21、P1F

22、＋

23、P2F

24、＋…＋

25、PnF

26、＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝10＋n.4．(2016·新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(D)A.B．1C.D．2因为

27、y2＝4x，所以F(1,0)．又因为曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，所以P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k>0)得k＝2.故选D.5．(2018·广东七校联考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若

28、AF

29、＝3，则

30、BF

31、＝　　.设A，B的横坐标分别为xA，xB，由抛物线的定义可知

32、AF

33、＝xA＋＝xA＋1＝3，所以xA＝2，又AB是抛物线的焦点弦，xA，xB满足xA·xB＝＝1，所以xB＝，所以

34、BF

35、＝xB＋＝＋1＝.6．(2016·湖南省六校联考)若以双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点F1，F

36、2和点M(1，)为顶点的三角形为直角三角形，则y2＝4bx的焦点坐标为　(1,0)　.显然点M(1，)为直角顶点，所以

37、OM

38、＝＝

39、F1F2

40、＝c，所以b＝1.故抛物线为y2＝4x，其焦点为(1,0)．7．已知斜率为1的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．(1)求直线l的方程(用p表示)；(2)若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：

41、AB

42、＝x1＋x2＋p；(3)若

43、AB

44、＝4，求抛物线方程．(1)因为抛物线的焦点F的坐标为(，0)，又因为直线l的斜率为1，所以直线l的方程为：y＝x－.(2)证明：过

45、点A，B分别作准线的垂线AA′，BB′，交准线于A′，B′，则由抛物线的定义得：

46、AB

47、＝

48、AF

49、＋

50、BF

51、＝

52、AA′

53、＋

54、BB′

55、＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.(3)由

56、AB

57、＝4，得x1＋x2＋p＝4，直线y＝x－与抛物线方程联立，⇒x2－3px＋＝0，由韦达定理，得x1＋x2＝3p，代入x1＋x2＋p＝4，解得p＝1，故抛物线方程为y2＝2x.8．(2017·新课标卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(C)A.B．2C．2D．3抛

58、物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．联立得方程组解得或因为点M在x轴的上方，所以M(3,2)．因为MN⊥l，所以N(－1,2)．所以

59、NF

60、＝＝4，

61、MF

62、＝＝4，

63、MN

64、＝＝4.所以△MNF是边长为4的等边三角形．所以点M到直线NF的距离为2.9．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝2，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为　　.设AB的中点为C，AB的延长线与准线相交于D，设A，B，C，F在准线上的投影分别为A′，B′，C′，F′，设FB＝t，则AF＝2t

65、，由抛物线的定义，知AA′＝2t，BB′＝t，所以BB′为△DA′A的中位线，所以BD＝3t，由△DF′F∽△DC′C，得＝，所以＝，解得C′C＝.10．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)，由点(，0)在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，

66、即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．因为点P和Q关于直线l对称，所以