2019年高考数学练习题汇总解答题满分练2.pdf

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1、解答题满分练21.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥PC；(1)求证：平面PAB⊥平面PCD；(2)若过点B的直线l垂直于平面PCD，求证：l∥平面PAD.证明　(1)因为ABCD为矩形，所以CD⊥AD，因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD,CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因为AP⊂平面PAD，所以PA⊥CD，又PA⊥PC,PC∩CD＝C,CD，PC⊂平面PCD，所以AP⊥平面PCD，又AP⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.(2)由(1)知，AP⊥平面PCD，

2、又l⊥平面PCD，所以l∥PA，又l⊄平面PAD,AP⊂平面PAD，所以l∥平面PAD.cosBb2.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足＋＝0.cosC2a＋c(1)求角B的值；3(2)若c＝2，AC边上的中线BD＝，求△ABC的面积.2cosBbcosBsinB解　(1)＋＝0⇔＋＝0,cosC2a＋ccosC2sinA＋sinC所以cosB(2sinA＋sinC)＋sinBcosC＝0，所以2sinAcosB＋cosBsinC＋sinBcosC＝0，所以2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0，所以sinA(2cosB

3、＋1)＝0，1因为sinA≠0，所以cosB＝－.22π所以B＝.3(2)延长BD到E，使BD＝DE，易知四边形AECB为平行四边形，2ππ在△BEC中，EC＝2，BE＝2BD＝3，因为∠ABC＝，所以∠BCE＝，由余弦定理得，33BE2＝EC2＋BC2－2EC·BC·cos∠BCE，π即3＝22＋a2－2·2a·cos，3即a2－2a＋1＝0，解得a＝1，1133S△ABC＝acsinB＝×1×2×＝.22223.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐

4、标系xOy.(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h不小于6米，2则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为S＝lh)33解　(1)设抛物线的方程为y＝－ax2(a＞0)，则抛物线过点(10，－，2)3代入抛物线方程得a＝，200令y＝－6，解得x＝±20，则隧道设计的拱宽l是40米.9(2)抛物线最大拱高为h米，h≥6，抛物线过点(10，－(h－，2))9h－2代入抛物线方程得a＝.1009h－2100h令y＝－h，则－x2＝－

5、h，解得x2＝，1009h－29l2l100h2则2＝，h＝，(2)9l2－400h－29l22∵h≥6，∴≥6，即20＜l≤40，l2－4009l22223l3∴S＝lh＝l·＝，20

6、时l＝203，h＝.427答　当拱高为米，拱宽为203米时，使得隧道口截面面积最小.44.已知圆C与y轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且直线x－y＝0被圆C截得的弦长为22.(1)求圆C的标准方程；(2)已知两定点A(0,1)，B(0，－1)，P为圆C上的动点，求PA2＋PB2的取值范围.解　(1)由已知可设圆心C(a,2a)，则r＝

7、a

8、.

9、a－2a

10、

11、a

12、圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝，22

13、a

14、则(2＋(2)2＝

15、a

16、2，解得a＝±2，2)从而所求圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝4或(x＋2)2＋(y＋4)2＝4.(2)设P(

17、x，y)，则PA2＋PB2＝x2＋(y－1)2＋x2＋(y＋1)2＝2(x2＋y2)＋2，要求PA2＋PB2的取值范围，只需求x2＋y2的取值范围，而x2＋y2的几何意义为圆C上的点P(x，y)到原点O(0,0)的距离的平方.由圆心C到原点O的距离OC＝25，知点P(x，y)到原点O的距离的最大值，最小值分别为25＋2,25－2，则x2＋y2的取值范围为[24－85，24＋85]，故PA2＋PB2的取值范围为[50－165，50＋165].15.已知函数f(x)＝alnx＋bx(a，b∈R)在x＝处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处

18、的切2线与直线x－y＋1＝0垂直.(1)求实数a，b的值；(2)若关于x的不等式f(x)≥x2－3x＋k有大于0的实数解，