2019年高考数学练习题汇总解答题通关练 6.pdf

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1、6.函数与导数a1.已知函数f(x)＝lnx＋－1，a∈R.x(1)若关于x的不等式f(x)>－x＋1在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；fxe(2)设函数g(x)＝，证明：当a≥时，g(x)在[1，e2]上不存在极值.x2a(1)解　由f(x)>－x＋1，得lnx＋－1>－x＋1.x即a>－xlnx－x2＋2x在[1，＋∞)上恒成立.设m(x)＝－xlnx－x2＋2x，x≥1，则m′(x)＝－lnx－2x＋1.∵x∈[1，＋∞)，∴－lnx≤0，－2x＋1<0.∴当x∈[1，＋∞)时，m′(x)＝－lnx－2x＋1<0.∴m(x)在[1，＋∞)上单调递减.∴当x∈[1，＋∞)

2、时，m(x)≤m(x)max＝m(1)＝1.∴a>1，即a的取值范围是(1，＋∞).lnx1a(2)证明　∵g(x)＝－＋，x∈[1，e2].xxx21－lnx12a2x－xlnx－2a∴g′(x)＝＋－＝.x2x2x3x3设h(x)＝2x－xlnx－2a，x∈[1，e2]，则h′(x)＝2－(1＋lnx)＝1－lnx.令h′(x)＝0，得x＝e.当1≤x0；当e

3、)在[1，e2]上不存在极值.22.已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.解　(1)依题意得g(x)＝lnx＋ax2＋bx，x>0，1则g′(x)＝＋2ax＋b，x由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得，g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1.2ax2－(2a＋1)x＋1(2ax－1)(x－1)(2)由(1)得g′(x)＝＝.xx∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，x－1∴当a＝0时，g′(x)＝－，x由g′

4、(x)>0得01；1111若0<<1，即a>时，由g′(x)>0得x>1或01，即00得x>或0时，

5、函数g(x)在0，上单调递增，在，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增.2(2a)(2a3.已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数).(1)当a＝5时，求函数g(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值；1(3)若存在两个不等实数x1，x2∈[，e]，使方程g(x)＝2exf(x)成立，求实数a的取值范围.e解　(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e，g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e，所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3

6、e＝0.(2)函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞).因为f′(x)＝lnx＋1，所以在(0，＋∞)上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：111x(0，，＋∞)e)e(ef′(x)－0＋f(x)↘极小值(最小值)↗111当t≥时，在区间[t，t＋2]上，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝tlnt，当0

7、＋，x>0，xx23x＋3x－1则h′(x)＝1＋－＝.xx2x2当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：1x(，1)1(1，e)eh′(x)－0＋h(x)↘极小值(最小值)↗113因为h(＝＋3e－2，h(e)＝＋e＋2，h(1)＝4，e)ee12所以h(e)－h(＝4－2e＋<0，e)e1所以h(e)