2019年高考数学练习题汇总解答题通关练 3.docx

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1、3.立体几何1.(2018·北京11中模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝，AC∩BD＝O，且PO⊥平面ABCD，PO＝，点F，G分别是线段PB，PD的中点，E在PA上，且PA＝3PE.(1)求证：BD∥平面EFG；(2)求直线AB与平面EFG所成角的正弦值.(1)证明　(1)在△PBD中，因为点F，G分别是线段PB，PD的中点，所以FG∥BD，因为BD⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，所以BD∥平面EFG.(2)解　因为底面ABCD是边长为2的菱形，所以OA⊥OB，因为PO⊥平面ABCD，又OA，OB⊂平面ABCD，

2、所以PO⊥OA，PO⊥OB，如图，以O为原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则依题意可得A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，0，0)，D(0，－，0)，P(0，0，)，E，F，G，所以＝(－1，，0)，＝，＝(0，，0)，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则由可得令z＝，可得n＝，因为cos〈，n〉＝＝.所以直线AB与平面EFG所成角的正弦值为.2.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点.(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC

3、′所成角的余弦值.(1)证明　设＝a，＝b，＝c，根据题意得

4、a

5、＝

6、b

7、＝

8、c

9、，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a，∴·＝－c2＋b2＝0，∴⊥，即CE⊥A′D.(2)解　∵＝－a＋c，

10、

11、＝

12、a

13、，

14、

15、＝

16、a

17、，·＝(－a＋c)·＝c2＝

18、a

19、2，∴cos〈，〉＝＝，即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明：PA∥平面DBE；(2)证明：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小

20、.(1)证明　连接AC交BD于点O，连接OE.在△PAC中，∵O，E分别是AC，PC的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA，又∵PA⊄平面DBE，OE⊂平面DBE，∴PA∥平面DBE.(2)证明　∵PD⊥平面ABCD，又DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC.又PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形，而E是斜边PC的中点，∴DE⊥PC.同理可证PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，又PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面PDC，∴BC⊥平面PDC.又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，∵BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，∴DE⊥平面PBC，又PB

21、⊂平面PBC，∴DE⊥PB，又EF⊥PB且DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，∴PB⊥平面EFD.(3)解　由(2)知PB⊥DF，∴∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，BD＝a，PB＝＝a，PC＝＝a，DE＝PC＝a，在Rt△PDB中，DF＝＝＝a，在Rt△EFD中，sin∠EFD＝＝＝，∴∠EFD＝60°.∴二面角C－PB－D的大小为60°.4.如图，在等腰梯形ABCD中，AE⊥CD，BF⊥CD，AB＝1，AD＝2，∠ADE＝60°，沿AE，BF折成三棱柱AED－BFC.(1)若M，N分别为AE，BC的

22、中点，求证：MN∥平面CDEF；(2)若BD＝，求二面角E－AC－F的余弦值.(1)证明　取AD的中点G，连接GM，GN，在△ADE中，∵M，G分别为AE，AD的中点，∴MG∥DE，∵DE⊂平面CDEF，MG⊄平面CDEF，∴MG∥平面CDEF.由于G，N分别为AD，BC的中点，由棱柱的性质可得GN∥DC，∵CD⊂平面CDEF，GN⊄平面CDEF，∴GN∥平面CDEF.又GM⊂平面GMN，GN⊂平面GMN，MG∩NG＝G，∴平面GMN∥平面CDEF，∵MN⊂平面GMN，∴MN∥平面CDEF.(2)解　连接EB，在Rt△ABE中，AB＝1，AE＝，∴BE＝2

23、，又ED＝1，DB＝，∴EB2＋ED2＝DB2，∴DE⊥EB，又DE⊥AE且AE∩EB＝E，AE，EB⊂平面ABFE，∴DE⊥平面ABFE.以E为原点，分别以EA，EF，ED所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得E(0，0，0)，A(，0，0)，F(0，1，0)，C(0，1，1)，＝(－，1，1)，＝(－，0，0)，＝(0，0，1).设平面AFC的法向量为m＝(x，y，z)，则则z＝0，令x＝1，得y＝，则m＝(1，，0)为平面AFC的一个法向量，设平面ACE的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则则x1＝0，令y1＝1，得z1＝－1

24、，∴n＝(0，1，－1)为平面ACE的一个法向量.设m，n所成的角