2019年高考数学练习题汇总解答题通关练 3.pdf

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1、3.立体几何1.(2018·北京11中模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB2π＝，AC∩BD＝O，且PO⊥平面ABCD，PO＝3，点F，G分别是线段PB，PD的中点，3E在PA上，且PA＝3PE.(1)求证：BD∥平面EFG；(2)求直线AB与平面EFG所成角的正弦值.(1)证明　(1)在△PBD中，因为点F，G分别是线段PB，PD的中点，所以FG∥BD，因为BD⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，所以BD∥平面EFG.(2)解　因为底面ABCD是边长为2的菱形，所以

2、OA⊥OB，因为PO⊥平面ABCD，又OA，OB⊂平面ABCD，所以PO⊥OA，PO⊥OB，如图，以O为原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则依题意可得A(1，0，0)，B(0，，30)，C(－1，0，0)，D(0，－3，0)，P(0，0，3)，1233333E(，0，，F0，，，G0，－，，33)(22)(22)→→133→所以AB＝(－1，，30)，EF＝－，，－，GF＝(0，，30)，(326)设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则由Error!可得E

3、rror!3令z＝3，可得n＝(－，0，3)，2→AB·n→21因为cos〈AB，n〉＝＝.→14

4、AB

5、

6、n

7、21所以直线AB与平面EFG所成角的正弦值为.142.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点.(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.→→→(1)证明　设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，根据题意得

8、a

9、＝

10、b

11、＝

12、c

13、，且a·b＝b·c＝c·a＝0，→1—→11∴CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a，

14、222→—→1212∴CE·A′D＝－c＋b＝0，22→—→∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D.—→—→→5—→→11212(2)解　∵AC′＝－a＋c，

15、AC′

16、＝2

17、a

18、，

19、CE

20、＝

21、a

22、，AC′·CE＝(－a＋c)·b＋c)＝c＝

23、a

24、，2(2221

25、a

26、2—→→210∴cos〈AC′，〉＝CE＝，5102×

27、a

28、2210即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.103.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(

29、1)证明：PA∥平面DBE；(2)证明：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小.(1)证明　连接AC交BD于点O，连接OE.在△PAC中，∵O，E分别是AC，PC的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA，又∵PA⊄平面DBE，OE⊂平面DBE，∴PA∥平面DBE.(2)证明　∵PD⊥平面ABCD，又DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC.又PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形，而E是斜边PC的中点，∴DE⊥PC.同理可证PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，又PD∩DC＝D，

30、PD，DC⊂平面PDC，∴BC⊥平面PDC.又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，∵BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，∴DE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB，又EF⊥PB且DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，∴PB⊥平面EFD.(3)解　由(2)知PB⊥DF，∴∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，BD＝2a，PB＝PD2＋BD2＝3a，PC＝PD2＋DC2＝2a，12DE＝PC＝a，22PD·BDa·2a6在Rt△PDB中，DF＝＝＝

31、a，PB3a32aDE23在Rt△EFD中，sin∠EFD＝＝＝，DF62a3∴∠EFD＝60°.∴二面角C－PB－D的大小为60°.4.如图，在等腰梯形ABCD中，AE⊥CD，BF⊥CD，AB＝1，AD＝2，∠ADE＝60°，沿AE，BF折成三棱柱AED－BFC.(1)若M，N分别为AE，BC的中点，求证：MN∥平面CDEF；(2)若BD＝5，求二面角E－AC－F的余弦值.(1)证明　取AD的中点G，连接GM，GN，在△ADE中，∵M，G分别为AE，AD的中点，∴MG∥DE，∵DE⊂平面CDEF，M

32、G⊄平面CDEF，∴MG∥平面CDEF.由于G，N分别为AD，BC的中点，由棱柱的性质可得GN∥DC，∵CD⊂平面CDEF，GN⊄平面CDEF，∴GN∥平面CDEF.又GM⊂平面GMN，GN⊂平面GMN，MG∩NG＝G，∴平面GMN∥平面CDEF，∵MN⊂平面GMN，∴MN∥平面CDEF.(2)解　连接EB，在Rt△ABE中，AB＝1，AE＝3，∴BE＝2，又ED＝1，DB＝5，∴EB2＋ED2＝DB2，∴DE⊥EB，又DE⊥AE且AE∩EB＝E，AE，