2013年湖南省高考数学试卷（理科）.pdf

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1、2013年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（　　）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B

2、所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（　　）A．B．C．D．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（　　）A．B．0C．D．5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（　　）A．3B．2C．1D．06．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（　　）A．B．C．D．7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（　　）A．1B．C．D．8．（5分）在等腰直角三角形ABC中

3、，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　）A．2B．1C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为　　．10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b

4、2+9c2的最小值为　　．11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为　　．12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为　　．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为　　．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若

5、PF1

6、+

7、PF2

8、=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为　　．15．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣，n∈N

9、*，则（1）a3=　；（2）S1+S2+…+S100=　．16．（5分）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）

10、a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为　　．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是　　．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）

11、=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y

12、51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N

13、的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半