2020年初高中衔接数学人教版09 从换元法，数形结合思想到函数的值域（解析版）.docx

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1、衔接点09从换元法，数形结合思想到函数的值域【基础内容与方法】1.换元法：就是将函数解析式中的部分代数式视为整体，换成新元，从而简化函数结构来求值域的方法．形如的函数，常用换元法求解．2.数形结合思想：画出函数的图形，找图形的最高点和最低点，对应的函数值即为函数的最值．[来源:学科网]类型一：换元法求形如的函数的值域例1：求函数的值域．【解析】令，则．∴原函数可化为．∵当，即时，；且原函数无最小值．故原函数的值域为．考点练习一1.求函数y＝2x－的值域．【解析】(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－)2＋，由t≥0，再结合函

2、数的图象(如图)，可得函数的值域为[，＋∞)．类型二：数形结合思想求值域例2：作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域．（1）；（2）．【答案】（1）减区间：和，值域：；（2）减区间：和，增区间：和，值域：．【解析】分别画出函数的图象，根据图象即可得到函数的单调区间和值域．（1），图象如图所示：[来源:学科网]函数在和为减函数.因为，所以，故值域为：；（2），图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数，当时，取得最小值，故值域：；【点睛】本题主要考查函数的图象，同时考查函数的单调区间和值域，属于中档题.考点练习二2．作出下列函数的大致图像，并写出函数的

3、单调区间和值域．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）增区间：，值域：R；（2）增区间：和，减区间：，值域：；（3）减区间：和，增区间：和，值域：；（4）减区间：和，增区间：和，值域：，大致图像见解析【解析】（1）函数的图象如图所示：函数在上为增函数，值域：.（2），图象如图所示：函数在和为增函数，在为减函数，值域为：.（3），图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数.值域为：；（4）[来源:Z#xx#k.Com]，函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：.【点睛】本题主要考查函数的图象，同时考查函数的单调区间和值域，属于中档题.课后作业：1.函数的值

4、域是（）A．B．C．D．R【解析】，值域为【答案】B2.函数y=x+的值域是()[来源:学+科+网Z+X+X+K]A．(－∞,1B．(－∞,－1　　　C．RD．［1,+∞【解析】令=t(t≥0),则x=∵y=+t=－(t－1)2+1≤1∴值域为(－∞,1【答案】A3．已知f(x－)＝x2＋，则f(3)＝______.【解析】∵f(x－)＝(x－)2＋2，∴f(x)＝x2＋2(x∈R)，∴f(3)＝32＋2＝11.4．求函数的定义域与值域.【解析】要使函数有意义，则，解得.所以原函数的定义域是.，所以值域为.5.已知的定义域与值域.【解析】要使函数有意义，则x+2≠

5、0，解得x≠－2.所以原函数的定义域是.∵，∴值域为.6.求下列函数的值域.(1)(2)y＝，x∈[3，5].【解析】(1)(换元法)设＝t，t≥0，则y＝(t2＋2)－t＝2－，当t＝时，y有最小值－，故所求函数的值域为.(2)(分离常数法)由y＝＝2－，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以ymax＝，ymin＝，故所求函数的值域是.[来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:学科网]