2020年初高中衔接数学人教版08 从换元法，整体思想到函数的解析式（解析版）.docx

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1、衔接点08从换元法，整体思想到函数的解析式【基础内容与方法】题目常见形式“已知的解析式，求的解析式．”1.“整体代入法”是把视为一个整体，将的解析式转化为含的表达式，然后直接整体代换，即可求出解析式，此种方法不必求出，可以减少运算量．2.“换元法”是通过引入参数进行式子的变形，从而得到的表达式，这是解此类型题的通法．类型一：已知f(x)的解析式，求f[g(x)]的解析式例1：已知f(x)＝2x2＋1，求f(＋1)的解析式．方法：解决此类问题的方法为“直接代入法”，直接代入法主要解决已知f(x)的解析式，求f[g

2、(x)]的解析式的问题，其解法为用g(x)替换f(x)解析式中的所有自变量x.解析：因为f(x)＝2x2＋1，所以f(＋1)＝2(＋1)2＋1＝2x＋4＋3.类型二：已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式方法：通过引入参数t，进行换元，分离相应的变量x,从而得到f(x)的解析式．例2：已知函数f()＝＋，求f(x)．解析：令t＝＝＋1，得x＝，则t≠1.把x＝代入f()＝＋，得f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋

3、∞)．考点练习1．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于(　　)A．2x＋1　　　B．2x－1C．2x－3D．2x＋7解析：选B，∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B．2．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则3f(x＋1)＝3[k(x＋1)＋b]＝3kx＋3k＋3b＝6x＋4，所以解得所以f(x)＝2x－．答案：2x－．[来源:学,科,网Z,X

4、,X,K]3．设f(x)＝，则f[f(x)]＝________.解析：f[f(x)]＝＝＝.答案：(x≠0，且x≠1)．4．已知函数f(x)＝.(1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；(2)求证：f(x)＋f()是定值；[来源:Zxxk.Com](3)求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2012)＋f()的值．解析：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＋f()＝＋＝1，f(3)＋f()＝＋＝1.(2)证明：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＝1.(3)由(2)知f(x)＋f()＝1，∴f(2)＋f()＝1，

5、f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1，…，f(2012)＋f()＝1.∴f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2012)＋f()＝2011.　法二：(配凑法)∵f()＝＋＝()2－[来源:Z*xx*k.Com]＝()2－＋1，∴f(x)＝x2－x＋1.又∵＝＋1≠1，∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．5．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．解析：②法一：(换元法)令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二

6、：(配凑法)∵x＋2＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1.又∵＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．[来源:学§科§网]6．(1)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，求f(x)；(2)已知f(x)－2f()＝3x＋2，求f(x)．解析：①在原式中以－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，于是得af(x)＋f(－x)＝bxaf-x＋fx＝-bx消去f(－x)，得f(x)＝．故f(x)的解析式为f(x)＝x．②在原式中用替换x，得f()－2f(x)＝＋2，于是有消去f()，得f(x)

7、＝－x－－2．7．(1)已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．解析：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b．又f[f(x)]＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，即，解之得或∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(x＋1)

8、－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.整理得：2ax＋(a＋b)＝2x．由恒等式性质知上式中对应项系数相等．∴解得a＝1，b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋1．8．对的所有实数，函数满足，求的解析式．解析：由已知①[来源:学科网ZXXK]中用代换得到②由①②得到③设，则，则代入③得到，所以．