高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(四十一)　数学归纳法.pdf

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1、课时跟踪检测(四十一)　数学归纳法一、选择题1．(2015·山东德州一模)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋231111272．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取242n－164()A．7B．8C．9D．103．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)

2、＋n－24．(2015·上海闸北二模)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1B．2nn2＋n＋2C.D．n2＋n＋1215．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()311A.B.n－1n＋12n2n＋111C.D.2n－12n＋12n＋12n＋26．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1

3、”时，左边应增乘的因式是()A．2k＋1B．2(2k＋1)2k＋12k＋3C.D.k＋1k＋1二、填空题7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．n4＋n28．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基2础上加上的项为______________________________．9．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通

4、过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.10．设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________.(n≥1，n∈N*)三、解答题bn11.创新题已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标1－4a2n为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．12．设数列{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1(n∈N*)．

5、(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a1≥3时，证明：对所有的n≥1，有an≥n＋2.答案1．选D　当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.11－1112n12．选B　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.242n－112n－11－23．选C　边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．4．选C1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个

6、区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面nn＋1n2＋n＋2分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.2211111115．选C　由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.3153×5355×7637×91猜想an＝.2n－12n＋16．选B　当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1

7、)，2k＋12k＋2则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．k＋17．解析：n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．答案：2k＋18．解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)219．解析：由(S1－1)2＝S21得：S1＝；22由(S2－1)2＝

8、(S2－S1)S2得：S2＝；33由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝.4n猜想Sn＝.n＋1n答案：n＋110．解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n