高考数学(理)大一轮复习达标训练试题:课时跟踪检测(四十八) 空间角的求法.pdf

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1、课时跟踪检测(四十八) 空间角的求法(分A、B卷,共2页)A卷:夯基保分1.(2015·云南模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为AB的中点.(1)求直线AD和直线B1C所成角的大小;(2)求证:平面EB1D⊥平面B1CD.2.(2014·北京高考)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥PABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.(1)求证:AB∥FG;(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE.求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.3.(2014

2、·新课标全国卷Ⅰ)如图三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(1)证明:AC=AB1;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角AA1B1C1的余弦值.B卷:增分提能1.(2015·深圳一调)如图所示,在多面体ABCDA1B1C1D1中,上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行,且都是正方形,DD1⊥底面ABCD,AB=2A1B1=2DD1=2a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值;(2)已知F是AD的中点,求证:FB1⊥平面BCC1B1;(3)在(2)的条件下,求二面角FC

3、C1B的余弦值.2.(2014·山东高考)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(1)求证:C1M∥平面A1ADD1;(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=3,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.3.(2015·兰州模拟)如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;6(2)若二面角PACE的余弦值为,求直线

4、PA与平面EAC所成角的正弦值.3答案A卷:夯基保分1.解:不妨设正方体的棱长为2个单位长度,以DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.根据已知得:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,2).·2(1)∵DA=(2,0,0),CB=(2,0,2),∴cos〈DA,CB〉==.11

5、

6、

7、

8、2π∴直线AD和直线B1C所成角为.4(2)证明:取B1D的中点F,得F(1,1,1),连接EF.∵E为AB的中点,∴E(2,1,0),

9、∴EF=(-1,0,1),DC=(0,2,0),∴EF·DC=0,EF·CB=0,1∴EF⊥DC,EF⊥CB1.∵DC∩CB1=C,∴EF⊥平面B1CD.又∵EF⊂平面EB1D,∴平面EB1D⊥平面B1CD.2.解:(1)证明:在正方形AMDE中,因为B是AM的中点,所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE,所以AB∥平面PDE.因为AB⊂平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,所以AB∥FG.(2)因为PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE.如图建立空间直角坐标系Axyz,

10、则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC=(1,1,0).设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则Error!即Error!令z=1,得y=-1,所以n=(0,-1,1).设直线BC与平面ABF所成角为α,则n·1sinα=

11、cos〈n,BC〉

12、==.

13、

14、n

15、

16、

17、

18、2π因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.6设点H的坐标为(u,v,w).因为点H在棱PC上,所以可设PH=λPC(0<λ<1),即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2),所以u=2λ,v=λ,

19、w=2-2λ.因为n是平面ABF的法向量,所以n·AH=0,即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0.2422解得λ=,所以点H的坐标为,,.3(333)424所以PH=2+2+-2=2.(3)(3)(3)3.解:(1)证明:连接BC1,交B1C于点O,连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点.又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO,故B1C⊥AO.又B1O=CO,故AC=AB1.(2)因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.又因为AB=BC,所

20、以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两相互垂直.以O为坐标原点,OB,OB,OA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,

21、OB

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