高考数学专题复习（精选精讲）练习5-双曲线习题精选精讲.pdf

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1、习题精选精讲双曲线（1）双曲线定义——与椭圆相伴相离.双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它俩之间的和谐美与对立美闪耀图形之上，渗透方程之中.从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三：1.按第一定义，双曲线要求动点到两定点距离之差为常数（小于两定点间的距离），而椭圆则要求动点到两定点距离之和为常数（大于两定点间的距离）；2.按第二定义，双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e（e＞1），而椭圆则要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e（0＜e＜1）；3.按主要参数a、b、c之间的关系，双曲线要求c2=a2+b2其中a，b，c依次表示双曲

2、线.的实，虚半轴和半焦距.而椭圆则要求a2=b2+c2其中a，b，c分别表示椭圆的长，短半轴和半焦距.2222xyxy【例1】若椭圆1mn0与双曲线1(ab0)有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，mnab则

3、PF1

4、·

5、PF2

6、的值是（）122A.maB.maC.maD.ma2【解析】椭圆的长半轴为m，PFPF2m112双曲线的实半轴为a，PFPF2a2122212：4PFPF4maPFPFma，故选A.1212【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键

7、.22xy1【例2】已知双曲线1与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使PMPF最小，则P点的坐标为92721Y【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的N′P′2NM(5,3)倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.P【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率e2，3OF(6,0X)右准线为l：x.作MNl于N，交双曲线右支于P，231X=连FP，则PFePN2PNPNPF.此时22PM1PFPMPNMN537为最小.22522xy2在1中，令y3，得x12x23.x0，取x23.所求P

8、点的坐标为（23，3）.927（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.1【例3】过点（1，3）且渐近线为yx的双曲线方程是22x2【解析】设所求双曲线为yk14-1--1-习题精选精讲135点（1，3）代入：k9.代入（1）：44222x2354yxy1即为所求.4435352222x

9、yxyxy【评注】在双曲线1中，令00即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222ababab22xyk，而无须考虑其实、虚轴的位置.22ab（3）共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄2222xyxy将双曲线1的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：1.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦2222abba距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.11【例4】两共轭双曲线的离心率分别为e,e，证明：=1.1222ee1222222xyc2cab【

10、证明】双曲线1的离心率ee；221122abaaa22222xyc2cab双曲线1的离心率ee.222222babbb2211ab∴1.222222eeabab12（4）等轴双曲线——和谐对称与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.222【证明】如图设等轴双曲线方程为xya1，Y22CD直线CD：y=m.代入（1）：xxm.故有：2222Cxm,m,Dxm,m.AOBX取

11、双曲线右顶点Ba,0.那么：2222BCxma,m,BDxma,m2222BCBDaamm0,BCBD.即∠CBD=90°.同理可证：∠CAD=90°.●通法特法妙法（1）方程法——为解析几何正名-2--2-习题精选精讲解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.22xy【例6】如图，F和F分别是双曲线1(a0,b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF为半径的圆与12221ab该双曲线左支的两个交点，且△FAB是等边三

12、角形，则双2曲线的离心率为（）5（A）