高考数学专题复习（精选精讲）练习5-抛物线习题精选精讲.pdf

《高考数学专题复习（精选精讲）练习5-抛物线习题精选精讲.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、习题精选精讲抛物线（1）抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.2【例1】P为抛物线y2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（）A.相交B.相切C.相离D.位置由P确定pY【解析】如图，抛物线的焦点为F,0，准线是P2HQpl:x.作PH⊥于lH，交y轴于Q，那么PFPH，NM2pp且QHOF

2、.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的OF(,0)X22111中位线，MNOFPQPHPF.故以p222l:x=-22y=2pxPF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.2【例2】过抛物线y2pxp0的焦点F作直线交抛物线于Ax,y,Bx,y两点，求证：1122112（1）ABxxp（2）12AFBFp【证明

3、】（1）如图设抛物线的准线为，作lpYAAlA,BBl于B，则AFAAx，111111A(x,y)2A11p1BFBBx.两式相加即得：122ABx1x2pBFX1B(x,y)22（2）当AB⊥x轴时，有l112AFBFp，成立；AFBFpp当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：ykx.代入抛物线方程：2222p222p2kx2px.化简得：kxpk2xk0124-1--1-习题精选精讲2k∵方程（1）之二根为x1，x2，∴xx2.1411111

4、1xxp12AFBFAABBpppp211xxxxxx1212122224xxpxxp21212.p2pp2ppx1x2x1x2p4242112故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立.AFBFp（3）切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.2【例3】证明：过抛物线y2px上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）2p【证明】对方程y2px两边取导数：2yy2p，y

5、.切线的斜率ypp2ky.由点斜式方程：yyxxyypxpxy1xx000000yy002y02px0，代入（1）即得：y0y=p（x+x0）（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.2例如：1.一动圆的圆心在抛物线y8x上，且动圆恒与直线x20相切，则此动圆必过定点（）A.4,0B.2,0C.0,2D.0,2显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.22.抛物线y2px的

6、通径长为2p；223.设抛物线y2px过焦点的弦两端分别为Ax,y,Bx,y，那么：yyp112212以下再举一例2【例4】设抛物线y2px的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.-2--2-习题精选精讲【证明】如图设焦点两端分别为Ax,y,Bx,y，YA1122A1122那么：y

7、ypCACByyp.121112M设抛物线的准线交x轴于C，那么CFp.CFXB12BAFB中CFCACB.故AFB90.111111这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.●通法特法妙法（1）解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点YA、B，则

8、AB

9、等于（）BA.3B.4C.32D.42M【分析】直线AB必与直线x+y

10、=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.OXA【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的lx+y=0方程为：yxm2yxm.由xxm3012yx3设