高考数学专题复习（精选精讲）练习2-幂函数习题精选精讲.pdf

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1、幂函数　　函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展同学们的思维．　　一、分类讨论的思想2n2n3　　例1　已知函数yx(nZ)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．222　　解：因为图象与y轴无公共点，故n2n3≤0，又图象关于y轴对称，则n2n3为偶数，由n2n3≤0，得1≤n≤3，又因为nZ，所以n0，1，2，3．2　　当n0时，n2n

2、33不是偶数；2　　当n1时，n2n34为偶数；2　　当n1时，n2n30为偶数；2　　当n2时，n2n33不是偶数；2　　当n3时，n2n30为偶数；　　所以n为1，1或3．04　　此时，幂函数的解析为yx(x0)或yx，其图象如图１所示．　　二、数形结合的思想1　　例2　已知点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点2，，在幂函数g(x)的图象上．4　　问当x为何值时有：（１）f(x)g(x)；（２）f(x)g(x)；（３）f(x)g(x)．　　分

3、析：由幂函数的定义，先求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可．mm　　解：设f(x)x，则由题意，得2(2)，2n1n　　∴m2，即f(x)x．再令g(x)x，则由题意，得(2)，42　　∴n2，即g(x)x(x0)．在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图2所示．由图象可知：　　（1）当x1或x1时，f(x)g(x)；　　（2）当x1时，f(x)g(x)；　　（3）当1x1且x0时，f(x)g(x)．　　小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本

4、题中g(x)的隐含条件x0．　　三、转化的数学思想1242　　例3　函数y(mx4xm2)(mmx1)的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（　　）．　　Ａ．(51，2)　　Ｂ．(51，∞)　　Ｃ．(2，2)　　Ｄ．(15，15)12422　　解析：要使函数y(mx4xm2)(mmx1)的定义域是全体实数，可转化为mx4xm20对一切实数都成立，2即m0且44m(m2)0．　　解得m51．　故选（Ｂ）幂函数中的三类讨论题　　所谓分类讨论，实质上是“

5、化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．　　类型一：求参数的取值范围22mm3　　例1　已知函数f(x)x(mZ)为偶函数，且f(3)f(5)，求m的值，并确定f(x)的解析式．22mm32　　分析：函数f(x)x(mZ)为偶函数，已限定了2mm3必为偶数，且mZ，f(3)

6、f(5)，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定f(x)的解析式．2　　解：∵f(x)是偶函数，∴2mm3应为偶数．22mm32m2m32m2m3323　　又∵f(3)f(5)，即35，整理，得1，∴2mm30，∴1m．52　　又∵mZ，∴m0或1．22　　当m=0时，2mm33为奇数（舍去）；当m1时，2mm32为偶数．2　　故m的值为1，f(x)x．　　评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才

7、可为正确解题奠定坚实的基础．　　类型二：求解存在性问题2　　例2　已知函数f(x)x，设函数g(x)qf[f(x)](2q1)f(x)1，问是否存在实数q(q0)，使得g(x)在区间∞，4是减函数，且在区间(4，0)上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．　　分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．242　　解：∵f(x)x，则g(x)qx(2q1)x1．　　假设存在实数q(q0)，使得g

8、(x)满足题设条件，4242　　设xx，则g(x)g(x)qx(2q1)xqx(2q1)x1212112222(xx)(xx)[q(xx)(2q1)]．12211222　　若x，x∞，4，易知xx0，xx0，要使g(x)在∞，4上是减函数，则应有q