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时间:2020-07-19
《高考数学专题复习(精选精讲)练习2-幂函数习题精选精讲.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、幂函数 函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学学习的始终,而幂函数是其中的一部分内容,这部分内容虽然少而简单,却包含了一些重要的数学思想.下面剖析几例,以拓展同学们的思维. 一、分类讨论的思想2n2n3 例1 已知函数yx(nZ)的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于y轴对称,求n的值,并画出函数的图象.222 解:因为图象与y轴无公共点,故n2n3≤0,又图象关于y轴对称,则n2n3为偶数,由n2n3≤0,得1≤n≤3,又因为nZ,所以n0,1,2,3.2 当n0时,n2n
2、33不是偶数;2 当n1时,n2n34为偶数;2 当n1时,n2n30为偶数;2 当n2时,n2n33不是偶数;2 当n3时,n2n30为偶数; 所以n为1,1或3.04 此时,幂函数的解析为yx(x0)或yx,其图象如图1所示. 二、数形结合的思想1 例2 已知点(2,2)在幂函数f(x)的图象上,点2,,在幂函数g(x)的图象上.4 问当x为何值时有:(1)f(x)g(x);(2)f(x)g(x);(3)f(x)g(x). 分
3、析:由幂函数的定义,先求出f(x)与g(x)的解析式,再利用图象判断即可.mm 解:设f(x)x,则由题意,得2(2),2n1n ∴m2,即f(x)x.再令g(x)x,则由题意,得(2),42 ∴n2,即g(x)x(x0).在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象,如图2所示.由图象可知: (1)当x1或x1时,f(x)g(x); (2)当x1时,f(x)g(x); (3)当1x1且x0时,f(x)g(x). 小结:数形结合在讨论不等式时有着重要的应用,注意本
4、题中g(x)的隐含条件x0. 三、转化的数学思想1242 例3 函数y(mx4xm2)(mmx1)的定义域是全体实数,则实数m的取值范围是( ). A.(51,2) B.(51,∞) C.(2,2) D.(15,15)12422 解析:要使函数y(mx4xm2)(mmx1)的定义域是全体实数,可转化为mx4xm20对一切实数都成立,2即m0且44m(m2)0. 解得m51. 故选(B)幂函数中的三类讨论题 所谓分类讨论,实质上是“
5、化整为零,各个击破,再积零为整”的策略.分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧,做到确定对象的全体,明确分类的标准,不重、不漏的分类讨论.在幂函数中,分类讨论的思想得到了重要的体现,可根据幂函数的图象和性质,依据幂函数的单调性分类讨论,使得结果得以实现. 类型一:求参数的取值范围22mm3 例1 已知函数f(x)x(mZ)为偶函数,且f(3)f(5),求m的值,并确定f(x)的解析式.22mm32 分析:函数f(x)x(mZ)为偶函数,已限定了2mm3必为偶数,且mZ,f(3)
6、f(5),只要根据条件分类讨论便可求得m的值,从而确定f(x)的解析式.2 解:∵f(x)是偶函数,∴2mm3应为偶数.22mm32m2m32m2m3323 又∵f(3)f(5),即35,整理,得1,∴2mm30,∴1m.52 又∵mZ,∴m0或1.22 当m=0时,2mm33为奇数(舍去);当m1时,2mm32为偶数.2 故m的值为1,f(x)x. 评注:利用分类讨论思想解题时,要充分挖掘已知条件中的每一个信息,做到不重不漏,才
7、可为正确解题奠定坚实的基础. 类型二:求解存在性问题2 例2 已知函数f(x)x,设函数g(x)qf[f(x)](2q1)f(x)1,问是否存在实数q(q0),使得g(x)在区间∞,4是减函数,且在区间(4,0)上是增函数?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由. 分析:判断函数的单调性时,可以利用定义,也可结合函数的图象与性质进行判断,但要注意问题中符号的确定,要依赖于自变量的取值区间.242 解:∵f(x)x,则g(x)qx(2q1)x1. 假设存在实数q(q0),使得g
8、(x)满足题设条件,4242 设xx,则g(x)g(x)qx(2q1)xqx(2q1)x1212112222(xx)(xx)[q(xx)(2q1)].12211222 若x,x∞,4,易知xx0,xx0,要使g(x)在∞,4上是减函数,则应有q
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