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时间:2020-07-19
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1、初中数学建模类型浅析 江苏省邳州市陆井中学 袁银宗 解决简单的实际问题是大纲规定的教学目的之一,数学建模就是将具有实际意义的应用题,通过数学抽象转化为数学模型,以求得问题的解决.选取若干范例,对其建模类型略陈管见,供参考. 一、建立几何模型诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复破残轮片、跑道的设计与计算等应用问题,涉及一定图形的性质常需建立几何模型,转化为几何问题求解. 例1 如图1,足球赛中,一球员带球沿直线l逼近球门AB,他应在什么地方起脚射门最为有利? 分析 这是
2、几何定位问题,根据常识,起脚射门的最佳位置P应该是直线l上对AB张角最大的点,此时进球的可能性最大,问题转化为在直线l上求点P.使∠APB最大.为此,过AB两点作圆与直线l相切,切点P即为所求.当直线l垂直线段AB时,易知P点离球门越近,起脚射门越有利.可见“临门一脚”的功夫理应包括选取起脚射门的最佳位置。 二、建立三角模型对测高、测距、航海,燕尾槽、拦水坝、人字架的计算等应用问题,则可建立三角模型,转化为解三角形问题.例2海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°,航行12海里到达D点,这
3、时测得小岛A在北偏东30°.如果渔船不改变航向,继续向东捕捞,有没有触礁的危险? 简析 根据题意作出如图2的示意图,继续航行能否触礁,就是比较AC与8的大小。问题转化为解直角三角形,求AC的长。 AC 对这类问题中涉及到的测量专用名词的含义及测量仪器的使用,教学中应予以重视。 三、建立方程模型对现实生活中广泛存在的等量关系,如增长率、储蓄利息、浓度配比、工程施工及人员调配、行程等问题,则可列出方程转化为方程求解问题. 例3 某家俱的标价为132元,若降价为9折出售即优惠10%),仍可获利10%(相对于进资价)。求该家俱的进货价。 简
4、析 设该家惧的进货价为x元.则问题转化为求方程 例4 如图3(1),在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向一条横向且横向与纵向互相垂直).把耕地分成大小相等的六块作实验田,要使实验地面积为570m2,问道路应为多宽?(1997年安徽省中考题) 简析 如图3(2).作整体思考,设道路的宽为xm,则问题转化为求方程(20-x)(32-2x)=570的解,解得x1=1,x2=35(不合题意,舍去)。 上述三种建模类型是初中教材中涉及最多的,也是学生感知最为丰富的现实原型。 四、建立直角坐标系模型当变量的变化具有(近
5、似)函数关系,或物体运动的轨迹具有某种规律时,可通过建立平面直角坐标系,转化为函数图象问题求解。 例5 在如图4所示的自动喷灌设备中,喷出的水流呈现抛物线状.设水管AB高出地面1.5米.水流最高点C比喷头B高2米,且与B点连线夹角与水平面成45°,求水流落地点到A点的距离。 简析 因水流路线是抛物线,可建立如图4所示的平面直角坐标系,问题转化为求抛物线与x轴交点的横坐标.由已知条件可求得抛物 对于飞机投物、打炮射击、投篮、平抛等问题,其物体运动的轨迹都是抛物线,往往可转化为二次函数图象问题去解决.当变量之间具有线性关系时,则可转化为直
6、线或平面区域问题去解决.五、建立目标函数模型对于现实生活中普遍存在的最优化问题,如造价用料最少,利润产出最大等,可透过实际背景、建立变量之间的目标函数,转化为函数极值问题. 例6 某商店如将进货价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现在采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,问应将售价定为多少时,才能使所赚利润最大,并求出最大利润. 简析 设每件售价提高x元,则每件得利润(2+x)元,每天销售量变为(200-20x)件,所获利润y=(2+x)(200-20x)=-20(x-4)
7、2+720.故当x=4时,即售价定为14元时,每天可获最大利润720元. 函数关系是普遍存在的,所呈现的函数关系也并非都是二次的.因此建立目标函数模型的应用十分广泛。 六、建立不等式模型 在市场经营、生产决策和社会生活中,如估计生产数量,核定价格范围,盈亏平衡分析,投资决策等,则可挖掘实际问题所隐含的数量关系,转化为不等式(组)的求解或目标函数在闭区间的最值问题。 例7 某工厂生产的产品每件单价是80元,直接生产成本是60元,该工厂每月其它总开支是50000元.如果该工厂计划每月至少要获得200000元利润,假定生产的全部产品都能卖出,问
8、每月的生产量应是多少? 简析 设每月生产x件产品,则总收入为80x,直接生产成本为60x,每月利润为80x-60x-50000=20x-50000.
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