2021高考数学一轮复习统考第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算学案北师大版.doc

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1、第三章　导数及其应用第1讲　导数的概念及运算基础知识整合1．导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作：y′

2、x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝.(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝.2．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).3．基

3、本初等函数的导数公式(1)C′＝0(C为常数)；(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q*)；(3)(sinx)′＝cosx；(4)(cosx)′＝－sinx；(5)(ax)′＝axln_a；(6)(ex)′＝ex；(7)(logax)′＝；(8)(lnx)′＝.4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).特别地：[C·f(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)．(3)′＝(g(x)≠0).5．复合函数的导数设函数u＝φ(x)在点x处

4、有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f[φ(x)]在点x处也有导数y′x＝f′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．131．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同．2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数．4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小

5、f′(x)

6、反

7、映了变化的快慢，

8、f′(x)

9、越大，曲线在这点处的切线越“陡”．5．两类切线问题的区别(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．1．(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(　　)A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1

10、＝0D．x＋y－π＋1＝0答案　C解析　设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C．2．(2019·天津一模联考)已知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，f′(1)＝1，则a＝(　　)A．1B．2C．eD．10答案　C解析　∵f(x)＝logax，∴f′(x)＝，则f′(1)＝，∴＝1，解得a＝e，故选C．3．若曲线y＝ex＋ax＋b在点(0,2)处的切线l与直线x＋3y＋

11、1＝0垂直，则a＋b＝(　　)A．3B．－1C．1D．－3答案　A解析　因为直线x＋3y＋1＝0的斜率为－，所以切线l的斜率为3，即y′

12、x＝0＝e0＋13a＝1＋a＝3，所以a＝2；又曲线过点(0,2)，所以e0＋b＝2，解得b＝1.所以a＋b＝3.故选A．4．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________.答案　y＝3x解析　∵y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.5.(2019·天津十二中学联考二

13、)已知函数f(x)＝ex(2－lnx)，则f′(1)＝________.答案　e解析　∵f(x)＝ex(2－lnx)，∴f′(x)＝ex，则f′(1)＝e(2－ln1－1)＝e.6．(2019·郑州模拟)直线x－2y＋m＝0与曲线y＝相切，则切点的坐标为________.答案　(1,1)解析　∵y＝＝x，∴y′＝x－，令y′＝x－＝，则x＝1，则y＝＝1，即切点坐标为(1,1)．核心考向突破考向一　导数的概念例1　利用导数定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．解　∵Δy＝－1，∴＝＝，∴＝＝，∴函数y＝在x＝1处的导数为.导数

14、定义探究(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的平均变化率当Δx→0时极限是否存在．13(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，再算比值＝，再求极限y′＝.(3)导数定义中，x在x0处增量是相对的，可以是Δx，也可是2Δx，－Δx等，做题要将分子分母中增