2021高考数学一轮复习统考第3章导数及其应用第4讲导数与函数的综合应用学案北师大版.doc

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1、第4讲　导数与函数的综合应用基础知识整合1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：3．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．1．把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法．2．利用导数解决与方程、函数零点、不等式等问题时，常用到数形结合及转化与化归的数学思想．1．

2、(2019·四川南充一诊)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为(　　)A．(1,5)B．[1,5)C．(1,5]D．(－∞，1)∪(5，＋∞)答案　A解析　由题意知f′(x)＝3x2＋2x－a＝0在区间(－1,1)内恰有一根(且在根两侧f′(x)异号)⇔f′(1)·f′(－1)＝(5－a)(1－a)<0⇔12，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．

3、(－∞，＋∞)答案　B解析　由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0.设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x15)－2.因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1.故选B．3．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)答案　A解析　f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.

4、三次方程f(x)＝0有3个根⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0.∵x＝－1为极大值点，x＝1为极小值点．∴∴－22f(1)答案　C解析　由题设，f(x)为R上任意可导函数，不妨设f(x)＝(x－1)2，则f′(x)＝2(x－1)，满足(x－1)·f′(x)＝2(x－1)2≥0，且f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝1，则有f

5、(0)＋f(2)>2f(1)；再设f(x)＝1，则f′(x)＝0，也满足(x－1)·f′(x)≥0，且有f(0)＋f(2)＝2f(1)，即1＋1＝2×1.5．(2019·贵阳模拟)若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，7]B．(－∞，－20]C．(－∞，0]D．[－12,7]答案　B解析　令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3.因为f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20，所以f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.6．已

6、知a≤＋lnx对任意的x∈恒成立，则a的最大值为________.答案　0解析　令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈时，f′(x)<0，当x∈15(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a的最大值为0.核心考向突破考向一　导数与方程例1　(2019·武汉市高三二调)已知函数f(x)＝xex－a(lnx＋x)，a∈R.(1)当a＝e时，判断f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝e时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，∵当0

7、当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)记t＝lnx＋x，则t＝lnx＋x在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R.∴f(x)＝xex－a(lnx＋x)＝et－at，令g(t)＝et－at.∴f(x)在x>0上有两个零点等价于g(t)＝et－at在t∈R上有两上零点．①当a＝0时，g(t)＝et，在R上单调递增，且g(t)>0，故g(t)无零点；②当a<0时，由g′(t)＝et－a>0，g(t)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，g＝e－1<0，故g(t)在R上只有一个零点；③当a>0时，由