2019_2020学年高中数学第5章数系的扩充与复数章末复习提升课学案湘教版选修2_2.doc

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1、章末复习提升课1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模在复平面上和z＝a＋bi对应的向量的模称为复数z的模，也称为z的绝对值，记作

2、z

3、.2．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：

4、z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．43．复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)

5、；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．3．z2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z＝3i时z2＝－9<0.　复数的概念与分类设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1)z是虚数⇔b≠0，(2)z是纯虚数⇔，(3)z是实数⇔b＝0.　已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，对于复数w＝(z＋ai)2，当a为何值时，w为(1)

6、实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解】　设z＝x＋yi(x、y∈R)，z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2，＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，所以z＝4－2i.因为w＝(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，(1)当w为实数时，令a－2＝0，所以a＝2，即w＝12＋4×2－22＝16.(2)w为虚数，只要a－2≠0，所以a≠2.(3)w为纯虚数，只要12＋4a－a2＝0且a－2≠0，所以a＝－2或a＝6.　复数的四则运算4复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类

7、比多项式乘法，除法类比分式的分子、分母有理化，注意i2＝－1.在运算的过程中常用来降幂的公式有：(1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)．(2)(1±i)2＝±2i.(3)作复数除法运算时，有如下技巧：＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．　计算下列各题：(1)；(2)；(3).【解】　(1)＝＝＝＝＝＝－1＋i.(2)＝＝－＝－＋i.(3)＝＝＝＝＝－i.　复数模及其几何意义4复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应复平面上的点Z，则复数的模

8、z

9、＝

10、

11、＝，即点Z(a，b)到原点的距离．

12、z1－z2

13、则表示Z1，Z

14、2对应点间的距离，或

15、

16、的模．　复数z满足

17、z－1－i

18、＝1，求

19、z＋1＋i

20、的最小值．【解】　因为

21、z－1－i

22、＝1，所以由复数减法的几何意义可知，z对应的点的轨迹是以点(1，1)为圆心，1为半径的圆，而

23、z＋1＋i

24、则是圆上的点到点(－1，－1)的距离，所以

25、z＋1＋i

26、min＝－1＝2－1.4