高中数学 第五章 数系的扩充与复数章末质量评估 湘教版选修2-2

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1、第五章数系的扩充与复数章末质量评估(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的(　　)．A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解析　a＝0⇒/a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，a＋bi(a，b∈R)为纯虚数⇒a＝0.答案　A2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　)．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　D3．设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应

2、的复数是(　　)．A．－5＋5iB．－5－5iC．5＋5iD．5－5i答案　D4．i是虚数单位，＝(　　)．A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i解析　∵i3＝－i，∴＝＝＝1－i.答案　C5．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则(　　)．A．a＝，b＝B．a＝3，b＝1C．a＝，b＝D．a＝1，b＝3解析　依题意得：a＋bi＝＝＋i，∴a＝，b＝.答案　A6．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于(　　)．A．2iB．iC．－iD．－2i解析　设纯虚数，z＝bi(b∈R且b≠0)，则＝＝＝，由于其为实数，∴b＝－2，故

3、选D.答案　D7．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为(　　)．A．2cosB．－2cosC．2sinD．－2sin解析　

4、z

5、＝＝＝＝2∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，∴2＝－2cos.答案　B8．设a∈R，且(a＋i)2i为正实数，则a等于(　　)．A．2B．1C．0D．－1解析　(a＋i)2i＝(a2＋2ai－1)i＝－2a＋(a2－1)i＞0，解得a＝－1.故选D.答案　D9．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)．A．(0

6、,3)B．(－∞，－2)C．(－2,0)D．(3,4)解析　整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点在第二象限，则解得3＜m＜4.答案　D10．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝(　　)A.B.C．1D．2解析　法一　由z＝＝，得＝，∴z·＝·＝＝.法二　∵z＝＝，∴

7、z

8、＝＝＝.∴z·＝

9、z

10、2＝.答案　A二、填空题(每小题5分，共25分)11．若复数z的虚部为3，模为5，则＝________.解析　设z＝a＋3i(a∈R)，则a2＋9＝25，a2＝16，a＝±4，z＝±4＋3i，∴＝±4－3i.答案　

11、±4－3i12．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i，则z的模为________．解析　z＝＝2i，∴

12、z

13、＝2，故填2.答案　213．关于x的方程3x2－x－1＝10i－ix－2ix2有实数根，则实数a的值为______．解析　设方程的实根为x＝m，则原方程可变为：＋(2m2＋m－10)i＝0，由复数相等的定义得：解②得m＝2或m＝－代入①，解得a＝11或－.答案　11或－14．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且ABCD为平行四边形，则z＝________.解析　由于＝，∴2

14、＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，∴z＝3－6i.答案　3－6i15．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝2的复数z＝________.解析　法一　由题意＝zi－(－z)＝2，即z＋zi＝2，设z＝x＋yi(x，y∈R)，则有x＋yi＋xi－y＝2，∴∴∴z＝1－i.法二　∵＝zi＋z＝2，∴z(1＋i)＝2，∴z＝＝＝1－i.答案　1－i三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(本小题满分13分)设复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z＋2i＝8＋ai(a∈R)，试求a的

15、取值范围．解　设z＝x＋yi，则由条件(1)知x＜0，y＞0.又z＋2i＝8＋ai，故(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai，∴消去x，得4(y－1)2＝36－a2.∵y＞0，∴4(y－1)2≥0，∴36－a2≥0，－6≤a≤6.又2x＝a，x＜0，∴a＜0，∴－6≤a＜0.故a的取值范围是[－6,0)．17．(本小题满分13分)已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b＝(a＋2z)2.解　∵z＝1＋i，∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i.而(a＋2z)2＝[(a＋2)＋2i]2＝(a＋2)2＋4(a＋2)

16、i＋4i2＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.∵az＋2b＝(a＋2z)2，∴解得或18．(本小题满分13分)已知x、y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x、y.解　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，根据复