2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3最大值与最小值应用案巩固提升苏教版选修2_.doc

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1、1.3.3最大值与最小值[A　基础达标]1．函数f(x)＝x＋cosx在[0，π]上的(　　)A．最小值为0，最大值为B．最小值为0，最大值为＋1C．最小值为1，最大值为D．最小值为1，最大值为π－1解析：选D．f′(x)＝1－sinx．因为0≤x≤π，所以0≤sinx≤1，所以f′(x)≥0，即f(x)在[0，π]上是增函数，所以f(x)max＝f(π)＝π－1，f(x)min＝f(0)＝1，选D．2．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是(　　)A．1，－1　　　　B．1，－17C．3，－17D．9，－19解析：选C．f′

2、(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3，1∉[－3，0]，所以最大值为3，最小值为－17.3．函数f(x)＝－x在区间[0，＋∞)上(　　)A．有最大值，无最小值B．有最大值，有最小值C．无最大值，无最小值D．无最大值，有最小值解析：选A．由已知得f(x)的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝－，令f′(x)>0，得f(x)的单调递增区间为[0，1)；令f′(x)<0，得f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)．所以f(x)在区间[0，＋∞)上有最大值

3、，无最小值．4．已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1，1]，则导函数f′(x)是(　　)A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值，又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数7D．既有最大值又有最小值的奇函数解析：选D．因为f′(x)＝2x＋sinx，则f′(－x)＝－2x－sinx＝－f′(x)，所以导函数f′(x)是奇函数，又因f″(x)＝2＋cosx>0，所以f′(x)在[－1，1]上单调递增，故f′(x)max＝f′(1)，f′(x)min＝f′(－1)，所以f′(x)既有最大值又有最小值．(说明：f″(x)表示对f′(x)再次求导，即f′(x)的导函数)

4、5．已知e是自然对数的底数，若函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]解析：选A．因为函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，所以f(x)＝ex－x＋a>0对一切实数x恒成立，即f(x)min>0.f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0，当x<0时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x＝0时，f(x)取得极小值即最小值，最小值为f(0)＝1＋a

5、，所以1＋a>0，即a>－1，故实数a的取值范围为(－1，＋∞)．6．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0，1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________．解析：令f′(x)＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0，得x1＝0，x2＝，x3＝－.又因为1≤x≤2，所以x＝.又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，f(2)＝16a－16a＋b＝b，f()＝b－4a，因为a>0，所以所以a＝2，b＝3.答案：2　37．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]上的最小值是___

6、_____．解析：因为f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0，所以x＝0或x＝1.所以在[－1，1]上有当x∈[－1，0)时，f′(x)>0.当x∈(0，1)时，f′(x)<0，7所以x＝0是f(x)的极大值点，也是最大值点．所以f(x)max＝f(0)＝a＝2，所以f(x)＝x3－x2＋2，所以f(－1)＝－，f(1)＝，所以f(x)在[－1，1]上的最小值为－.答案：－8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当

7、MN

8、达到最小时t的值为________．解析：

9、MN

10、的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx的最小值

11、，h′(x)＝2x－＝，令h′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.答案：9．设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值．解：函数f(x)的定义域为(0，2)，f′(x)＝－＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．(2)当x∈(0，1]时，f′(x)＝＋a＞0，即f(x)在(0，1]上单调递增，故f(x)在(0，1]上的最大值为f

12、(1)＝a，因此a＝.10．已知函数f