2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.2三角函数的图象与性质第2课时正切函数的图象与性质学案苏教版必修.doc

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1、第2课时　正切函数的图象与性质　1.了解正切函数的图象．　2.理解正切函数在上的性质．3．掌握函数y＝tanx的图象、性质及应用．函数y＝tanx的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域值域R周期π奇偶性奇函数，图象关于原点对称单调性在每个开区间(k∈Z)上都是增函数1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　)(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．(　　)(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.(　　)(4)函数y＝tanx为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x)＝－ta

2、nx．(　　)解析：(1)错误．如x1＝，x2＝，但tan＞tan，不符合增函数的定义．(2)错误．正切函数在每个单调区间上都为增函数．(3)错误．正切函数图象相邻两个对称中心的距离为半周期，故此说法是错误的．(4)错误．当x＝＋kπ(k∈Z)时，tanx没有意义，此时式子tan(－x)＝－tanx不成立．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×142．函数y＝tan的最小正周期为(　　)A．B．πC．2πD．3π答案：A3．函数f(x)＝tan的定义域是______________，f＝________．解析：由题意知x＋

3、≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋kπ(k∈Z)．故定义域为，且f＝tan＝.答案：　4．函数y＝－tanx的单调递减区间是________．解析：因为y＝tanx与y＝－tanx的单调性相反，所以y＝－tanx的单调递减区间为(k∈Z)．答案：(k∈Z)　与正切函数有关的定义域问题　求下列函数的定义域．(1)y＝；(2)y＝lg.【解】　(1)要使函数y＝有意义，需使所以函数的定义域为.(2)因为－tanx＞0，14所以tanx＜.又因为tanx＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，所以函数的

4、定义域是.(1)求由三角函数参与构成的函数的定义域，对于自变量必须满足：①使三角函数有意义，例如，若函数含有tanx，则x≠kπ＋，k∈Z；②分式形式的分母不等于零；③偶次根式的被开方数不小于零．　(2)求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．　1.(1)求函数y＝的定义域；(2)求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．解：(1)由题意得－tanx≥0，即tanx≤，结合正切函数的图象知kπ－

5、1≤tanx＜1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又y＝tanx的周期为π，所以所求x的范围是(k∈Z)，即函数的定义域是(k∈Z)．　正切函数的单调性及其应用14　(1)求函数y＝tan的单调区间，并求其最小正周期；(2)比较tan1，tan2，tan3的大小．【解】　(1)y＝tan＝－tan，由kπ－＜x－＜kπ＋(k∈Z)，得2kπ－＜x＜2kπ＋π(k∈Z)．所以函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)．T＝＝＝2π，所以函数y＝tan的最小正周期为2π.(2)因为tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3

6、－π)，又因为＜2＜π，所以－＜2－π＜0.因为＜3＜π，所以－＜3－π＜0.显然－＜2－π＜3－π＜1＜，且y＝tanx在内是增函数，所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan1，即tan2＜tan3＜tan1.(1)对于求y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值，再由kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋(k∈Z)求得x的范围即可．(2)运用正切函数单调性比较大小的步骤①运用诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小．　　2.求函数y＝，x∈的最大值和最小值．14解：y＝＝

7、tan2x＋1－tanx＝＋.因为x∈，y＝tanx在上是增函数，tan0＝0，tan＝1，所以tanx∈[0，1]，所以当tanx＝时，ymin＝；当tanx＝0或1时，ymax＝1.即原函数的最大值是1，最小值是.　与正切函数有关的图象问题　画出函数y＝

8、tanx

9、的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．【解】　由y＝tanx得，y＝其图象如图，由图象可知，函数y＝

10、tanx

11、是偶函数，单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)，周期为π.将本例中的函数y＝

12、tanx

13、改为y＝tan

14、x

15、，回答同样的问题，

16、结果又如何？解：由y＝tan

17、x

18、得y＝根据y＝tanx的图象，作出y＝tan

19、x

20、的图象如图：14由图象可知，函数y＝tan

21、x

22、是偶函数，单调增区间为，(k＝0，1，2，…)；单调减区间为，(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．(1)作函数y＝

23、f(x)