荆楚培优题第7讲轴对称.doc

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1、轴对称一.知识要点对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大，数学则是它的根本.本次课主要研究以下内容：（1）轴对称图形与轴对称，它们的联系与区别：轴对称图形是对某一个图形而言的；成轴对称是对两个图形而言的，它们的辩证关系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它是轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称.（2）线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。遇到线段的垂直平分线时，常将垂直平分线上的点与线段的两端点连接.利用轴对称思想添加辅

2、助线段构造全等三角形.证明线段或角相等是我们几何证明的常用方法之一.二.基本知识点过关测试1.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做，折叠后重合的点是叫做.如果一个图形沿一直线折叠，直线能够相互重合，这个图形就叫做这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说.2.判断下列是否为轴对称图形，若是请写出对称轴的条数：（1）圆；（2）正方形；（3）等腰三角形3.平面直角坐标系中，点A（-2,3）关于y轴的对称点A1的坐标是，点B（-4,1）关于x轴的对称点B1的坐标是，

3、点A1关于一、三象限的角平分线的对称点的坐标是.知识要点2：线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.4.如图，在△ABC中，AB=AC，DE为AB的中垂线.且△BEC的周长为14，BC=6，则AB的长为.知识要点3：等腰三角形的性质与判定5.如图，在等腰△ABC中,AB=AC，若∠1=∠2，则BDCD，ADBC6.在等腰三角形中，若一个角为100°，则另两个角为，若一个内角为40°，则另两个角为.7.（1）等腰三角形的腰为10，则底边长x的范围是；若底边长为10，则腰长y的范围

4、是.（2）等腰三角形的顶角为60°，底边长8cm，则腰为.（3）等腰△ABC，AB=AC，BD为AC边的高，则∠DBC=∠BAC；若∠DBA=45°，则∠C=.（4）三角形三内角度数比为1：2：3，它的最短边为5cm，则最长边为；等腰三角形底角为15°，腰长为30cm，，则此三角形面积为.知识要点4：等边三角形的性质与判定8.如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是.知识要点5：含30°的特殊三角形9.如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交于BC于点D

5、，交AB于点E，BD=10，则AC=.知识要点6：尺规作图问题10.如图，直线MN表示一条铁路，A、B两点表示铁路旁的两个村庄，要在铁路MN旁修建一个车站C，要使A、B两个村到车站的距离相等，请确定车站C的位置11.某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M、N表示大学AO、BO表示公路），现计划修一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.三.综合、提高、创新方法与技巧1：利用轴对称解决几何问题【例1】（1）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可

6、使所用输气管道最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？（2）已知∠MON=30°，P为∠MON内一定点，且OP=10cm，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值时，请确定A、B点的位置，并求此时的最小周长.方法与技巧2：利用特殊图形的轴对称性（线段的垂直平分线，角平分线）实现边、角的集中【例2】（1）如图，AC=BG，AB，CG垂直平分线交于点F,求证：∠ABF=∠CGF.（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分斜边AB于D，且点E在AB的下方，DE=AB.①求证：

7、∠ACE=45°②若点E在AB的上方，其他条件不变，则①的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【例3】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是角平分线，过BC的中点M作AD的垂线，交AD的延长线于F，交AB的延长线于E，求证：BE=BD【练】如图，在△ABC中，AB>AC，AD是BC上的高线，P是AD上一点，试比较PB—PC与AB—AC的大小.方法与技巧3：截长补短在特殊三角形中的应用【例4】（1）在△ABC中，AD⊥BC于D，∠C=2∠B.求证：AC+CD=BD.（2）在△ABC，AD平分

8、∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M，求证：AM=（AB+AC）【练】如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠ACD=60°，求证：AG=AH方法与技巧4：特殊要素法在特殊三角形中的应用【例5】（1）如图，△ABC中，AB=AC，BG⊥BC于B，CH⊥BC于C，过点A的直线l绕点A旋转，交BG、CH于G、H，求证：AG=AH（2）如图，点P为△ABC