高考新题型巧解点悟 专题十二 立几中的计算问题.doc

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1、专题十二立几中的计算问题一、新题型内核表解主干知识点知能转化点(1)异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离(2)点到平面的距离(3)直线和平面所成的角(4)平行平面间的距离(5)二面角及其平面角(6)简单的几何体(7)柱体和锥体的体积(8)多面体欧拉公式(9)球、球面距离、球体积、球表面积(1)除球面距离，求其它的点点距、点线距等七种距离的基础是会求点点距，重点是点线距，解决问题的依据是转化思想的合理运用(2)求线线角、线面角、面面角，往往是降维化为平面角，通过求解三角形来计算(3)求角和距离的基本步骤应包括作、证、算，注意“先证后算”、“以算代证”的运用解题关键点常见障碍

2、点(1)掌握定义，正确理解线及面的平行与垂直的判定与性质，理解并记忆常见结论，为解题思路的迅速得出创造条件(2)掌握一些常规方法，如求角的“线线角抓平移，线面角抓射影，面面角抓平面角”；求二面角的定义法、垂面法、射影法；求两异面直线所成角的平移法、补形法等(3)掌握多面体的概念，理清概念间的关系(1)不能正确理解各类多面体的特征，忽视概念间的包含关系(2)忽视两异面直线所成角的范围的限制(3)解计算题时，往往缺少必要的证明推理或作图的过程(4)对翻折问题，不能正确地认识翻折前后的不变量(5)缺乏一定的空间想象能力，不善于将空间问题转化为平面问题(6)对各种定义概念区分不清二、新题型巧解

3、点悟1．分类讨论法【例1】以两个腰长均为1的等腰直角△ABC1和等腰直角△ABC2为面组成60˚的二面角，试求C1与C2两点间的距离．【分析】先考虑两等腰直角三角形的各种可能位置关系，然后对每一种情形画出与它对应的立体图，作出它们的二面角的平面角，并将C1与C2放置于三角形中进行计算．C1ABC2111(3)BC1C2111(2)图1ABC1C21111O(1)ABC1C2O(1)ABC1C2(2)ABC1C2D(3)图2【解】如图1，有一条公共边的腰长均相等的两等腰直角三角形的平面位置关系有三种情况，对应它们的空间图形也有相应的三种情况，分别为图2的(1)~(3)．对于(1)，取AB

4、中点O，连C1O、C2O，则C1O⊥AB，C2O⊥AB，于是∠C1OC2为二面角C1-AB-C2的平面角，从而∠C1OC2=60˚．因C1O=C2O=，故△C1OC2为正三角形．于是C1C2=．对于（2），因C1B⊥AB，C2B⊥AB，故∠C1BC2为二面角C1-AB-C2的平面角，于是∠C1BC2=60˚．又C1B=C2B=1，故△C1BC2为正三角形，从而C1C2=1．对于（3），给出两种解法：解法一（作出二面角的平面角）在平面ABC1内作矩形C1ABD，于是AB⊥BD．因AB⊥BC2，故∠DBC2为二面角C1-AB-C2的平面角，从而∠DBC2=60˚．因BC2=AC1=BD=1

5、，故△BC2D为正三角形，从而C2D=1．又AB⊥BC2，AB⊥BD，故AB⊥平面BC2D，于是AB⊥C2D，而AB∥C1D，故C1D⊥C2D．由C1D=AB=1，得C1C2==．解法二（利用异面直线上两点间的距离公式）因AB⊥AC1，AB⊥BC2，且AB与AC1和BC2均相交，故AB为异面直线AC1、BC2的公垂线段．由异面直线两点间距离公式，得C1C22=AB2+AC12+BC22-2AC1·BC2·cos60˚=2，BMNmndθαβ图3于是，C1C2=．综合上面诸情况可知，C1与C2两点间的距离为或1或．【点悟】①解题关键点：分清各类情况，准确作出二面角的平面角，正确使用两点间

6、的距离公式或余弦定理等．②解题技巧：异面直线上两点间的距离公式为：MN=，其中d为两异面直线的公垂线段AB的长度，θ为两异面直线所成的角，m、n分别为两异面直线上点M与N到点A与B的距离，如图3所示．当M、N在直线AB的同侧时，取“-”；异侧时，取“+”．③解题易错点是考虑问题不全面，从而造成漏解．【例2】线段AB∥平面α，面α的斜线A1A、B1B与α所成的角分别是30˚、60˚，且∠A1AB=∠B1BA=90˚，AB=a，A1B1=b，b>a，试求AB与面α的距离．【解】作AC⊥面α于C，BD⊥面α于D，故AC∥BD，且AC=BD，即为所求直线AB与面α的距离，∠AA1C、∠BB1D

7、分别为A1A、B1B与面α所成的角，∠AA1C=30˚，∠BB1D=60˚．因AB∥面α，CD=面α∩面ABCD，故AB∥CD．又CD⊥CA，于是AB⊥AC．因AB⊥AA1，故AB⊥平面AA1C．同理，AB⊥平面BB1D．于是，面AA1C∥面BB1D．因A1C、B1D为面α截两平行平面AA1C与BB1D所得的截线，故A1C∥B1D．(1)60˚30˚ABA1B1CDEaaabxxα60˚ABA130˚aaabEDCxx(2)αB1图4考虑到A1