透视高考立几中计算问题(王琪)

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1、透视高考立几中计算问题（224005）江苏省盐城中学王琪一.考点透视立体几何是高中数学重要的知识板块，是高考中考查考生空间想象能力和逻辑思维能力的良好素材，其考查内容主要有空间几何体、空间线面位置关系、空间向量以及在立体几何中的应用，其考查的题目类型是选择题、填空题、解答题.选择题、填空题重在考查空间几何体的三视图、表面积和体积的计算、空间线面位置关系等立体几何初步的知识，解答题重在以空间几何体为依托考查空间向量在解决立体几何问题中的应用，解答题的难度一般为中等.2009年新课标地区的几套高考试题基本上都是这样设计的.二.考点例析1．考查从

2、复杂图形中分解出基本图形的能力一个比较复杂的立体几何问题，往往与一些基本图形，或已经解决了的简单问题相联系.我们在解决这类问题时，要善于发现、联想相关的基本图形.以实现复杂问题向简单问题的转化与化归.ABCD图1例1已知平行六面体ABCD—中，六个面都是边长为2的菱形，且∠AD=∠AB=∠BAD=60°，求它的体积.ABHD图2α解析1：如图1，显然平行六面体的底面积可求，关键是求高.作H⊥底面ABCD，垂足为H，这就要确定垂足H的位置.联想到基本图形（如图2），∠BAD在平面α内，A为平面α的斜线，若∠AD=∠AB，则在平面α上的射影H一

3、定在∠BAD的平分线上（课本结论）.怎样求出H的长度呢？仍然从基本图形考虑。利用∠AD=∠AB=60°，AH平分∠BAD，⊥平面ABD，A=2的条件，可求得H=.又=2×2×，∴.解析2：如图1，连接B、D，由已知可得一个基本图形—正四面体ABD，从而当H⊥平面ABD时，垂足H为正三角形ABC的中心.∵A=AB=2，∴AH=，∴，体积不难求出.点评：我们在解决立体几何问题时，要善于从复杂的空间图形中，联想基本图形，善于应用课本结论，将其化归为已经解决了的问题，才能不断提高解决立体几何问题的能力.趁热打铁：如果线段AB∥平面α，C、D∈α，且

4、AC⊥BD，若AC=2，直线AC和平面α成30°角，则线段BD的长度的取值范围是（）A．B．（1，）C．[，+∞]D．（，）解析：为了使已知条件集中，由AB∥平面α，可将BD平移至AE（如图3）.∵AC⊥BD，∴AC⊥AE.故△ACE为直角三角形.图3αABCDEOACOαE图4欲求BD的取值范围，须求AE的取值范围，因此只要解Rt△ACE，这就是问题的难点.由已知，作AO⊥平面α，垂足为O，则∠ACO=30°，AC=2，但Rt△ACE仍无法求解，如右图，联想一个基本图形（如图4）.AC是平面α的斜线，C为斜足，AO⊥平面α，于O，CE是平

5、面α内任意一条直线，则有性质：斜线和平面α所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角。换句话说，这里有∠ACE≥∠ACO=30°，∴BD=AE=AC·tan∠ACE≥2·tan30°=，选C.点评：这里联想图4是解决问题的关键，其实图4是课本“最小角定理”的图形，解题时要善于应用课本知识，将问题降低难度，从容求解.2.考查直观感知的能力研究空间图形问题，首先需要观察、分析空间图形的构成特点，并在直观感知的基础上，认识点、线、面之间的位置关系，进而确定解决问题的方向和途径．例2一个多面体的直观图和三视图如图5所示，其中平

6、面和底面垂直．（1）求与平面所成角的正切值及面与面所成二面角的余弦值．（2）求此多面体的表面积．图5解析：（１）由已知可得，平面平面，取中点，连结，在等腰中，有，则平面，∴即为与平面所成的角．∵，∴．故与平面所成角的正切值为2．取中点，连结、，同理有平面，即是在平面内的正投影．在中，，，，又，设面与面所成二面角的大小为，则．　　故面与面所成二面角的余弦值为．注：若平面多边形的面积为，它在平面内的正投影面积为，平面多边形与平面所夹的锐二面角为，则．（2）此多面体的表面积．点评：空间几何体的直观图和三视图能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何

7、体的特点．直观图是对空间几何体的整体刻画；而三视图则从细节上刻画了空间几何体的结构．这类问题，通过直观图对所研究的多面体从整体上有了直观认识，通过三视图明确了具体的数量关系，从而使问题得以顺利解决．趁热打铁：如图6是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）(A)9π　　　　　（B）10π(C)11π（D）12π解析：几何体为一个球与一个圆柱的组合体，图6点评：本题考查了三视图的知识，解决本题的关键是由三视图明确是怎样的一个几何体，同时要熟记球的表面积公式.3.考查运用数学解决实际问题的能力从学生熟悉的生活背景中引入数学问

8、题，在学生运用数学解决问题的过程中，体验数学与周围世界的关系，以及数学在社会生活中作用和意义，逐步领悟到学习数学与个人成长之间的关系，在感受成功中增进信心.通过隐含中解题过程中的