浅谈立几计算中的图形变换

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1、芇薀衿袇膂蕿蕿肂肈蕿蚁袅莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薅聿膅蚅螈袂蒄蚄袀膇莀蚃羂羀芆蚃蚂膆膂艿螄羈肈莈袇膄莆莇薆羇节莇虿膂芈莆袁羅膄莅羃袈蒃莄蚃肃荿莃螅袆芅莂袈肂膁蒁薇袄肇蒁虿肀莅蒀螂袃莁葿羄膈芇蒈蚄羁膃蒇螆膆聿蒆袈罿莈蒅薈膅芄薅蚀羈膀薄螃膃肆薃袅羆蒅薂蚅蝿莁薁螇肄芇薀衿袇膂蕿蕿肂肈蕿蚁袅莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薅聿膅蚅螈袂蒄蚄袀膇莀蚃羂羀芆蚃蚂膆膂艿螄羈肈莈袇膄莆莇薆羇节莇虿膂芈莆袁羅膄莅羃袈蒃莄蚃肃荿莃螅袆芅莂袈肂膁蒁薇袄肇蒁虿肀莅蒀螂袃莁葿羄膈芇蒈蚄羁膃蒇螆膆聿蒆袈罿莈蒅薈膅芄薅蚀羈膀薄螃膃肆薃袅羆蒅薂蚅蝿莁薁螇肄芇薀衿袇膂蕿蕿肂肈蕿蚁袅莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薅聿膅蚅螈袂蒄蚄袀膇莀蚃羂羀芆蚃蚂膆膂艿螄

2、羈肈莈袇膄莆莇薆羇节莇虿膂芈莆袁羅膄莅羃袈蒃莄蚃肃荿莃螅袆芅莂袈肂膁蒁薇袄肇蒁虿肀莅蒀螂袃莁葿羄膈芇蒈蚄羁膃蒇螆膆聿蒆袈罿莈蒅薈膅芄薅蚀羈膀薄螃膃肆薃袅羆蒅薂蚅蝿莁薁螇肄芇薀衿袇膂蕿蕿肂肈蕿蚁袅莇蚈螄肁芃蚇袆袄腿蚆薅聿膅蚅螈袂蒄蚄袀膇莀蚃羂浅谈立几计算中的图形变换在立体几何的求值问题中，我们常常由于作图困难或作图不当而难求其解，有些问题虽说也能够求出结果但往往计算复杂，能否通过科学的作图，巧妙地变换而简化计算结果呢？本文通过几个具体的例子介绍几种常见的变换方法。（一）完形法：有些立几问题，所给图形特征不够明显，如果将相关图形进行延展，作出完整的截面图形，往往能简化计算过程。例1：如图，在长方

3、体ABCD-A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，N是CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a，求三棱锥D-PEN的体积分析：在三棱锥D-PEN中，过D作平面PNE的垂线段，垂足不易确定，且三角形PEN的面积计算也较繁，但如果将△PEN延展，△PEN所在平面被正方体AC1所截得的截面图形为A1BCD1，因此过D作平面DNE的垂线，实际上就是需作平面A1BCD1的垂线，即作CD1的垂线即可，此时S△PEN也很容易求略解：过D作D1C的垂线DFBC⊥平面DC1DF平面DC1∵DF⊥BCDF⊥D1CDF⊥平面BCD1A1BC∩D1C而P、E、F所在平面与BCD1A1为同一平面，∴

4、DF⊥平面PENDF·a=2a·aDF=S△PEN=·V=（二）转换法：有些立几问题根据所给图形直接计算，比较繁琐，但如果适当转换，往往能事半功倍。5例2：已知四面体P-ABC中，PA=BC=10，PB=AC=，PC=AB=5，求此四面体的体积；分析：该题直接计算，比较复杂，主要是P到平面ABC的距离很难求，但如果过B作AC的平行且相等的线段BE，连接CE，则易知P-ABC与P-BCE的体积相等，而P-BCE的体积则易求得多。略解：取PE中点G，连接BG、CG∵PB=BE=∴BG⊥SE同理CG⊥PE∴PE⊥平面BCG连接AE交BC于N，则N是BC中点在ABEC中，AE2+BC2=2（AB2+

5、BE2）AE2=2（125+65）-100=280∵△PBC△ABC∴AN=PN=NE∴AP⊥PEPE2=AE2-PA2=180PE=在Rt△BEG中，BG=在Rt△GCE中，CG=∵BG2+CG2=BC2∴BG⊥CGS△BGC=V=△BGC·PE=例3:在三棱锥P-ABC中,PA=BC=m,PA与BC成θ角,PA与BC的距离为m,求VP-ABC分析:直接依据图形计算体积，起始条件不好利用，但如果过A作BC的平行且相等的线段AD，连接CD、PD，易知：VP-ADC=VP-ABC，而三棱锥P-ADC的体积易求，略解：由分析可知：∠PAD或其补角为PA与BC所成角θ∵PA与BC的距离为m，BC/

6、/平面PAD，∴C到平面PAD的距离为BC与PA的距离m∴VP-ADC=VC-PAD=·S△PAD·PA=5（三）、分离法：有些立几问题，或由于条件众多或由于直观感较差，我们常常找不到解题捷径，但如果我们把所关注的部分从原图中分离出来，既便于直观观察，也便于集中分析，往往能收到较好的效果。例4：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD中心，点M、N、G分别为棱CC1、A1D1、BC的中点，求①求AG与平面NDG所成的角；②四面体D-MNB1的体积（1）分析：由于原图中条件较多，观察困难，直接过A作平面NDG的垂线，垂足不易确定，但如果将A-NDG从原图中分离出来，问题

7、就要容易很多。问题可以变化成：已知：AG=DG=AN=ND=，AD=a，NG=,求AG与平面NDG所成的角；略解：取NG中点K，连接KD、AK∵GD=ND=AG=AN∴AK⊥GNDK⊥GN∴GN⊥平面ADK∴平面ADK⊥平面GND过A作AL⊥DK则AL⊥平面NGD易求AK=KD=在△AKD中，cos∠AKD=AL=AK·连接GL则∠AGL是AG与平面DNG所成的角Sin∠AGL=∠AGL=arcsin5当然，