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1、立体几何中的向量方法本节课教学内容分析立体几何是高中的重要知识点，也是高考考查的重点，每年都有一道12分的综合题。高考考查时，内容上常常是以特殊的几何体为载体，证明平行、垂直关系，或计算空间角、空间距离；在设问形式上，一般采用分布设问，以达到“分散解题难点，分层考查能力”的目的，同时注重符号、文字、图形三种语言的综合运用；解答方法上一般是既能用传统立体几何法，又能用向量法，传统立体几何法更能体现立体几何的精华，而向量法可以作为工具使得解决几何问题模型化，使得问题的解答简化；能力上逻辑思维能力、运算能力、空间想象力、分析解决问题能力（数
2、学化能力）。这些能力的核心是逻辑思维能力。学习者分析立体几何是高三学生的薄弱环节，由于高三知识的综合性，学生对立体几何考察的知识点、综合能力以及对传统立体几何法解题掌握方面比较欠缺，甚至望题却步，尤其是高考题的求二面角的问题。而向量法可以使得问题的解决更加简单，学生容易掌握。教学目标知识与技能：理解平面的基本性质与推论、空间中的平行关系和垂直关系，并在此基础上，以空间向量为工具，解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。过程与方法：向量模型解立体几何综合体情感、态度与价
3、值观：；通过本节的学习提高学生分析问题、解决问题的能力，尝试综合用所学知识、工具的能力，提高学生学数学，做数学的积极性。教学重点立体几何中的基本问题及立体几何中的向量方法教学难点1空间的垂直和平行关系，空间的夹角和距离问题2空间几种问题的向量表示形式教学内容一．两个概念1.直线的方向向量：与直线平行的非零向量；2.平面的法向量：与平面垂直的向量问题：如何求平面的法向量？(1)设出平面的法向量（2）找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标（3）列关于x、y、z的方程组解方程组取其中的一组解即得法向量。二、几类常见立体几何问题的向量表
4、示形式设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则1．空间的平行关系线线平行∥∥；线面平行∥；面面平行∥∥2．空间的垂直关系线线垂直⊥⊥；线面垂直⊥∥；面面垂直⊥⊥3．空间的夹角问题两直线,所成的角为(),；直线与平面所成的角为(),；二面角─l─的大小为(),4．空间的距离问题1）空间两点之间的距离利用公式或(其中),可将两点距离问题转化为求向量模长问题.2）点到平面的距离(平面外一点P到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值).P为平面α外一点,A为α内任意一点,为平面α的
5、法向量,则点P到平面的距离为:3）异面直线间的距离设a,b是异面直线,E,F分别是异面直线a,b上的点,是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为4）直线到平面的距离、平面到平面的距离可以转化为点到平面的距离求得。ABCDEA1B1C1D1注：上述常见立体几何问题的向量表示形式可以通过图示直观的表示出来，在具体的问题情境中，要对解题中选取的向量进行分析。例如,在求线线夹角是两条直线方向向量的夹角或补角；在求线面角时，直线的方向向量和平面的法向量的夹角是线面角或其余角；在求二面角的大小时要区分法向量的方向，当法向量对于二面角一内一外时，
6、法向量的夹角就是所求的二面角的大小，当法向量对于二面角都向内或都向外时，法向量的夹角就是所求的二面角的补角。三、例题选讲例1、（全国Ⅱ卷理19文20）如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．依题设，．，．（Ⅰ）因为，，故，．又，所以平面．（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．故，．令，则，，．等于二面角的平面角，．所以二面角的大小为．注：用向量法解立体几何问题，要建立合适的空间直角坐标系，确定相关线段长度，准确的写出坐标，对空间的平行、垂直关系，夹角、距
7、离问题都可以借助向量解决，充分体现了向量的工具作用，使得用代数方法解决几何问题模型化。CDEAB例2、（09年北京卷文16）如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小．解：（Ⅰ），，．又，．，平面．平面，．（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．ACBPzxyE设．，，．取中点，连结．，，，．是二面角的平面角．，，，．二面角的大小为．注：本题中的坐标系不像上题那样直观，需要有较好的空间想象能力，另外，建系时有论证部分，考查空间想象能力，逻辑推理能力和计算能力，数形结合，计算当中有推理，推理当中有计算。练习题1（全
8、国Ⅰ卷文18）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设侧面为等边三角形，求二面角的大小．（提示：过B作BZ垂直于底面,如图,分别以射线BC,AE,Bz所在直线为轴建立坐标系)练习题2如图，在四棱锥中，
