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《法向量在立几中的应用(一)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、法向量在立几中的应用（一）教学目的：利用平面的法向量和直线的方向向量解决立儿屮的平行和垂直以及角和距离的问题。教学重点：法向量在立儿中的应用。教学难点：法向量解决角和距离教学方法：讲练结合法教学过程：一：复习（-）法向量的有关概念如果一个向量所在玄线垂直于平面，则该向最是平面的一个法向量。（二）法向量的主要作用1证明线面平行取和直线平行的向量，验证该向量和法向量的点积是否为零。2证明面面垂直验证两个平面的法向最的点积是否为零。A3异面直线间的距离结论：（如图所示）设厶和厶是异面直线，•点，则异面「丄八目；丄厶，点C、D分别是直线厶和厶nCD直线人和人的距离〃=o2n4求点到平血的距离如图点P为
2、平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂线PO,记PA和平而a所成的角为0,则点P到平面的距离d=~P0=1PAIsin0=1PAIImIIPAI^PAI5求直线和直线所成的角利川两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。6求直线和平而所成的角如图，已知PA为平而a的一条斜线，n为平而a的一•个法向量，过P作平而a的垂线PO,连结OA则ZPAO为斜线PA和平面a所成的角,记为0易得sin0=1sin(彳一(亦乔》l=1cos(OP,AP)1=1cos〈〃，AP)I=1cosIn、PA5•PAIInIIPAI7求二而角的大小如图在二面角
3、a-l-/3中n】和吸分别为平面ct和卩的法向虽若二面角a-l-/3记二面角a-1-p的人小为若该二而角为锐二面角则•n2I或0—71—平面法向量的方向而定）,Inx•779I所以此吋0=arccos―I®IIn2I若二面角a-l-(3为钝二面角则（依据两平ifii法向量的方向而定厂II品I所以此时In}•n2I0-7i-arccos一一In}IIn2I（三）法向量的求法如图，在正方体ABCD-AiB-CjD）中G、E、F分别为AArAB、BC的中点，求平而GEF的法向量。略解：以A为原点建立右手空间直角坐标系，则E（l,丄,0）、F（丄，1,0）、G（l,0,丄）由此得222DGCEBAi—
4、*11■11GE=(0,---)FE=(-,--0)设平面的法向2222量为冷=(x,y,z)由斤丄GE反n丄FE对得X=V一?令y=l取平而的一个法向量为n=(14,1)z=y—z=02■1nn•FE=—xy=02二、典型例题例1如图△ABC是以ZB为直角的直角三角形，SAI平而ABC,SA=BC=2,AB=4,N、D分别是AB、BC的中点。(1)求二面角S-ND-A的余弦值；由＜2x-y=0-2兀-2z=（）ny=2x―可取该平面的法向量g、2，)1-11cos6=11Jl+2?+（-1）2因为该二面角为锐二面角，所以二面角的S-DN-A的余弦值为心66N在平jfllSND内，A(4、0、
5、0、)AN=(-2,0,0)所以A到平面SND的距离;丨丽•石I2V6~血I~V1+4+1-3例2(2002年高考天津卷)如图，正三棱柱ABC—A]B
6、C)的底而边长为a,侧棱长为迈a□(1)建立适当的坐标系，并写出点A、B、Ai、G的坐标;⑵求AC]与侧面ABBjAi所成的角。略解：以A为原点AB所在肓线为x轴，建立如图所示空间直角朋标系，（1）易得A（0、0、0）B（0、a、0）A】（0、0、a/2a）⑶显然可取平面ABB
7、A
8、的法向虽7?=(0、a、0)_kir;(或((k1.0))g=（产丁。，屈），设AC占侧面ABBA所成的角为则有si吩竺仝⑺IIAC]I.732.I—ClI2
9、12
10、32C2a、—aH—a+2qV44]_2所以AC）与侧而ABB
11、A］所成的角为30°例3（2003年髙考江苏卷）如图，在直三棱柱ABC—AiBQi中，底面是等腰直角三角形,ZACB=90°,侧棱AAI=2,D、E分别是CC】与A
12、B的屮点，点E在平面ABD上的射影是AABD的重心G。（1）求A
13、B与平面ABD所成角的大小（结果川反三角函数值表示）⑵求点A】到平面AED的距离。略解：以C为原点，CA所在直线为x轴建立空间直角处标系，设AC的长为a则A（a、0、0）,B（0、a、0）,D（0、0、1）,c—-aa1aaA］（a、0»2）则丿、、iG（—、一、一），E（—、一、1）33322山于E在
14、而ABD内的射影为G点所以GE丄而ABD乂D4二(。,0,-1)AB=(一。/,0)GE=(£,*
15、，f)由乔•旋=0及663DA・GE=0可得2尤丄06°彳解得圧2—=066y（1）取GE=（y,y,-）=为平面ABD的法向最，~B=（-2,2,・2）设A.B和平面ABD所成的aa2、」12663’、3'3'3角为0,则sin0=l竺•竺GE\A,B224.11333加和+2PV
16、3V2
