“正用”、“逆用”两角和与差的公式解题.doc

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1、.“正用”、“逆用”两角和与差的公式解题利用两角和与差的三角函数公式解题时，应注意观察、分析题设的结构特征和公式的结构特点，灵活地运用公式，创设运用公式的情境，才能简明快捷地解题．现举例说明“正用”、“逆用”两角和与差的公式求值、证明的一些技巧．技巧应用一：正用公式巧选三角函数求解三角函数值中隐含着角的围，往往需要缩小角的围以达到正确求解的目的．而所求角的围上往往也隐含着某种函数的单调性，所以如果能恰当选择三角函数进行求值，便可避开对角的围进行缩小而带来的麻烦，方法简捷易行．例1已知，，和都是锐角，求的值．分析：因为，为锐角，所以．若求，此时可以为锐角

2、也可以为钝角．再进一步确定的值时，尚需缩小，的围，将比较麻烦．若求，则可能为正也可负，为正时，为锐角，为负时，为钝角，此时比较容易确定的值，因此，只需求出便可．解：∵，．且和都是锐角，∴，，∴又∵，∴．评注：此题中求比求好．因为是的基本区间，与函数值对应的有且仅有一个角，而正弦函数在上不是单调函数，要求，必须进一步缩小围，比较麻烦．另外，如果所求结果非特殊值，则直接用反三角表示即可．例２已知，，且、，求的值.分析：由，可求出，对和作保值变换，即，则可根据两角和的正切公式求出，再根据已知条件中角的围求出...解：∵，∴.∵，且，∴.由题设，且，∴.由，即

3、可得.评注：由题设及求解过程知，、，且，，因此，、是两个惟一确定的角，从而也是一个惟一确定的角，所以或需根据条件要求排除一个角．因不能正确估算角的围而导致错解、增解是我们易犯的错误，究其原因是在解题中，缺乏思维的严密性和批判性，缺乏对多解正确性进行质疑的意识，即使有些同学有这种意识，但也缺少正确判断的方法.解题中，一要加强质疑意识和直觉判断，二要善于将已知的角的围和相关角的函数值综合起来进行判断，以达到缩小角的取值围的目的.技巧应用二：正用公式巧用角的代换这是一种十分常用的数学方法，代换法解数学题是重要的解题方法，解三角题更为突出．常用的角代换关系有：

4、，，，．例３已知，且，，求的值．分析：．解：∵，∴，．又∵，，∴，∴..．评注：本题解题的关键在于“变角”，即，要注意体会并掌握．例４已知．求证：分析：注意到条件式中的角是和，求证式中的角是和，显然“不要”的角和应由保留下来的角与来代换．解：∵，∴．即．∴．评注：三角函数式的结构一般由角、三角符号及运算符号三种元素组成．三角恒等式的证明实质就是由一种结构形式转化为另一种结构形式．因此在证明等式时必须仔细观察等式两边结构上的差异，然后分析这些差异和联系，最后从解决差异入手，施行适当的变换，直至消除差异，完成恒等式的证明．例５求证：．分析：联系等式左边的与

5、右边的，的形体结构，可将拆凑成结构，即用与来代换，然后正用与逆用两角和与差正、余弦公式进行求解.解：左边右边.评注：三角恒等式的证明实质上是通过恒等变形，消除待证式两端结构上的差异.常用的策略有：化繁为简；左右归一；证差为零；等价化归等.技巧应用三：逆用公式、多向变换使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活运用公式所必须的．尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角知识的基本功．逆用公式时，可以引入辅助角公式：关于形如（、..不同时为零）的式子引入辅助角变形为的形式．例６求值：分析：从分析给出的各角之间的关系入手，

6、引入辅助角寻找解决问题的思路和方法．解：原式．评注：在解题的过程中，对角之间的关系要进行认真的分析，以确定所要使用的三角函数的关系，如题中．例７化简．分析：要化简此三角函数式，可以本着两个方面考虑：一是减少角的个数，这一点可以由得到；二是减少三角函数的种类，这一点可以由两角和与差的公式逆用得到．解：．评注：利用诱导公式可以转换三角函数的名称，在三角函数式的求值和化简中，常需要进行这种变换．..例８已知非零实数、满足，求的值.分析：由联想到两角和的正切公式.解：由题设，得，令，则，即.故.评注：类比三角公式，进行三角代换，使隐蔽关系显现出来，从而实现难题

7、巧解.技巧应用四：根据公式特点巧用因果联系联系公式形式与条件特点，建立适当的关系式，寻求解题途经．例９已知关于的方程的区间上有两个相等的实数解、，求的值．分析：由于，因而需从已知条件设法从整体上求出和．也可以考虑把已知方程中的化为一个三角式，再建立、的关系．解：设，，则消去，得．①由已知、是①的两个根，由根与系数关系，得∴..．∴．评注：本题的关键在于“”的转化问题．涉及三角中一元二次方程的根的问题时，应使用根与系数的关系：判别式与韦达定理.此时可搭建起两角三角函数间的联系，从而为灵活运用公式求解相关问题提供依据..