复变函数第五章1留数.ppt

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1、第五章留数一.孤立奇点的分类(一类特殊的奇点)二.留数－－－(孤立奇点的数字特征)三.利用留数定理计算定积分－－（留数的应用）留数定理－－（计算复变函数积分的基本方法）1课件预备知识2课件5.1解析函数的孤立奇点1-33课件5.1.1孤立奇点的定义及分类定义：存在我们根据罗朗展式中负幂项的多少，对孤立奇点进行分类：4课件这时,f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....0<

2、z-z0

3、

4、z-z0

5、

6、孤立奇点。5课件如果在罗朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数f(z)的m阶极点.上式也可写成其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在

7、z-z0

8、

9、f(z)的极点,由(*)式,就有解：7课件3.本性奇点如果在罗朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点.有无穷多负幂项。8课件解:奇点为或9课件综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.定理5.110课件例4判定下列函数的孤立奇点的类型。（洛比塔法则）11课件5.1.2零点与极点的关系定义5.1：例4：多项式函数是最简单的解析函数。问题：零点的阶数？12课件13课件解：零点与极点间的关系？14课件定理5.3这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.例6解：15课件16课件（1）定义（3）根据零点与极点间的关系，定理

10、5.3，定理5.2的推论(4)例7的结论17课件（定义）18课件解：奇点为19课件解:奇点20课件距离原点无限远的点，统称为无穷远点由于函数在无穷远点没有定义，所以无穷远点总是一个奇点。我们关心的是，在怎样的情况下，构成孤立奇点？定义：定义：孤立奇点。无穷远点的去心邻域21课件定义5.222课件例:判定下列函数在处奇点的类型或因为含有有限多正幂项，且最高次数为三次，23课件24课件我们可以利用上述极限的不同情形来判别的类型.定理5.4例:判定下列函数在扩充复平面内各孤立奇点的类型25课件26课件