向量代数与空间解析几何习题详解.doc

《向量代数与空间解析几何习题详解.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六章向量代数与空间解析几何习题6—31、已知，，求线段的垂直平分面的方程.解：设是所求平面上任一点，据题意有化简得所求方程.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程,而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则亦即从而所求的轨迹方程为.3、求下列各球面的方程：（1）圆心，半径为；（2）圆心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是；（4）通过原点与解：（1）所求的球面方程为：（2）由已知，

2、半径，所以球面方程为（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：（4）设所求的球面方程为：因该球面经过点，所以解之得所求的球面方程为.4、将坐标面上的抛物线绕旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解：(旋转抛物面).5、将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解：绕轴旋转得绕轴旋转得.6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解：(1)椭圆柱面；(2)抛物柱面；(3)圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲

3、抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；（3）在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）；（2）（3）；（4）解：（1）平面上椭圆绕轴旋转而

4、成；或者平面上椭圆绕轴旋转而成（2）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者平面上的双曲线绕轴旋转而成（3）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者平面上的双曲线绕轴旋转而成（4）平面上的直线绕轴旋转而成或者平面上的直线绕轴旋转而成.9、画出下列各曲面所围立体的图形：（1）与三个坐标平面所围成；（2）及三坐标平面所围成；（3）及在第一卦限所围成；（4）所围.解：（1）平面与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面与平面及三坐标平面所围成；（3）坐标面、及平面、和圆柱面在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面与开口向

5、下的抛物面所围.作图略.习题6—41、画出下列曲线在第一卦限的图形（1）；（2）；（3）解：（1）是平面与相交所得的一条直线；（2）上半球面与平面的交线为圆弧；（3）圆柱面与的交线.图形略.2、分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程.解：消去坐标得，为母线平行于轴的柱面；消去坐标得：，为母线平行于轴的柱面.3、求在平面以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：；；.4、试求平面与椭球面相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程化简为：，可知其为平面上的椭圆，半轴分别为，顶点分别为.5、将下面

6、曲线的一般方程化为参数方程（1）；（2）解：（1）原曲线方程即：，化为；（2）.6、求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：；；.7、指出下列方程所表示的曲线（1）（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）圆；（2）椭圆；（3）双曲线；（4）抛物线；（5）双曲线.8、求曲线在面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：，是位于平面上的抛物线，在面上的投影曲线为9、求曲线在坐标面上的投影.解：（1）消去变量后得在面上的投影为它是中心在原点，半径为的圆周.（2）因为曲线在平面上，所以在面上的投影

7、为线段.（3）同理在面上的投影也为线段.10、求抛物面与平面的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解：交线方程为，（1）消去得投影（2）消去得投影，（3）消去得投影.习题6—51、写出过点且以为法向量的平面方程.解：平面的点法式方程为.2、求过三点的平面方程.解：设所求平面方程为,将的坐标代入方程，可得，故所求平面方程为.3、求过点且与平面平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为,从而其方程为即.4、求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面的方程.解：平面通过x轴,一方面表明它的法线向量垂直于x轴,即A=0;另一

8、方面表明它必通过原点,即D=0.因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因为这平面通过点(4,-3,-1),所以有-3B-C=0,或C=-3B.将其代入所设方程并除以B(B¹0),便得所求的平面方程为y-3z=0.5、求过点，且垂直于平面和的平面方程.解：取法向量所求平面方程为化简得:6、6设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程.解：设所