2019年43分部积分法.doc

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1、课时授课计划副页年月日教学过程及授课内容附注4-3分部积分法教学过程一、分部积分法设函数,具有连续导数，根据乘积微分公式有移项得两边积分得该公式称为分部积分公式，它可以将求的积分问题转化为求的积分，当后面这个积分较容易求时，分部积分公式就起到了化难为易的作用。例13求解设于是代入公式有====注：本题若设则有及，代入公式后，得到=,新得到积分反而比原积分更难，说明这样设是不合适的，由此可见，运用好分部积分关键是恰当地选择好和，一般要考虑如下两点：（1）要容易求得（可用凑微分法求出）；（2）要比容易积出。例14求.解==当熟悉

2、分部积分法后，及可心算完成，不必具体写出．例15求.解=例16求.解将再次出现的移至左端，合并后除以2得所求积分为小结：下述几种类型积分，均可用分部积分公式求解，且的设法有规律可循．(1)，，，可设；(2)，，，可设，，；(3)，，可设，.说明：（1）常数也视为幂函数．（2）上述情况换成多项式时仍成立．例17求.解先换元，令,则．当熟悉分部积分法后，及可心算完成，不必具体写出．原式==--=-=.例18求.解换元，令，则及．原式　.例19用多种方法求.解一分项，凑微分．=.解二令，则=.解三令=,则=解四令　=.解五分部积分

3、==.二、简单有理式的积分有理分式是指两个多项式之比，即，这里与不可约．当的次数高于的次数时，是真分式，否则为假分式．利用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真分式之和，例如多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积分法。一般真分式的积分方法：（1）将分母分解为一次因式（可能有重因式）和二次质因式的乘积（2）把该真分式按分母的因式，分解成若干简单分式（称为部分分式）之和（3）简单分式的积分。化真分式为部分分式之和举例说明：分母含有单因式时，这时分解式中对应有一项，其中A为待定系数．例如=．为确定系数,我们用乘等式两边

4、，得,因为这是一个恒等式，将任何值带入都相等.故可令,得,即．类似地，令,得，即=；令,得，即。于是得到==.(2)当分母含有重因式时，这时部分分式中相应有n个项：.例如.为确定系数A，B，C，将上式两边同乘以得,令,得；再令,得；令,得代入已求得的A，B值，得.所以.（3）当分母中含有质因式，这时部分分式中相应有一项.例如.为确定待定系数，等式两边同乘以，得,令得即；再令得,即；令,得,即．所以（4）当分母含有因式时，这种情况积分过于繁复，略去不讨论了。有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面三种形式:前两种积分，简单

5、凑微分法即可获解，下面举例说明（3）式的积分方法。例20求积分.解改写被积分函数分子为,(注意:括号内正好是分母的导数.=)于是===-=-.例21求.解由前面的情况（2）知，.所以==.例22求．解被积函数是真分式，分母中为二次质因式，所以将等式两边同乘以，得分别令-，得=；得，即;,得,求得．所以.于是===.说明：（1）有些不定积分，如等，虽然这些不定积分都存在，却不能用初等函数表达所求的原函数，这时称“积不出”.（2）在工程技术问题中，我们还可以借助查积分表来求一些较复杂的不定积分，也可以利用数学软件包在计算机上求原

6、函数。三、小结1.分部积分法2.简单有理式的积分