高等数学方明亮43分部积分法

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1、新课引入(Introduction)在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法”。但是，对于形如的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，9/10/20211积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.由导数乘法公式：9/10/20212第三节分部积分法第四章（IntegrationbyParts）例1求解:令则∴原式另解:

2、令则∴原式9/10/20213解:令则原式=例2求（课本例3）9/10/20214解:令则∴原式例3求（课本例4）9/10/20215解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.例4求（课本例7）9/10/20216把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例5（补充题）求解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数解题技巧:（自学课本例5～6）9/10/20217解:令,则原式=例6（补充题）求9/10/20218解:令

3、则原式令例7（课本例10）求9/10/20219解:令则得递推公式例8求（课本例9）9/10/202110递推公式已知利用递推公式可求得例如,说明:9/10/202111分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C)例43)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.说明:9/10/202112的一个原函数是求解:说明:此题若先求出再求积分反而复杂.例9已知（补充题）9/10/202113解法1先换元后分部令即则故例10

4、求（补充题）9/10/202114解法2用分部积分法9/10/202115本节小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”,前u后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式9/10/202116课后练习习题4-3（偶数题）思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得0=1答:不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.9/10/2021172.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则9/10/202118方法2(先换元,再分部)令则故9/10/2021193.

5、求解:令则9/10/2021204.证明递推公式证：注：或9/10/202121