D43不定积分的分部积分法

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1、第三节由导数公式积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.机动目录上页下页返回结束分部积分法第四章9/16/2021阜师院数科院例1.求解:令则∴原式思考:如何求提示:令则原式机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院例2.求解:令则原式=机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院例3.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院例4.求解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院解题技巧:把被积函数

2、视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例5.求解:令,则原式=机动目录上页下页返回结束反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数9/16/2021阜师院数科院例6.求解:令,则原式=机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院例7.求解:令则原式机动目录上页下页返回结束令9/16/2021阜师院数科院例8.求解:令则∴原式=机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院例9.求解:令则得递推公式机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,机动

3、目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院例10.证明递推公式证:注:或机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C)例43)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.例4目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院例11.已知的一个原函数是求解:说明:此题若先求出再求积分反而复杂.机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院例12.求解法1先换元后分部令即则故机动目录

4、上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院解法2用分部积分法机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院内容小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”,前u后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院例13.求解:令则可用表格法求多次分部积分机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院例14.求解:令则原式原式=机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得0=1答:不定

5、积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院2.求对比P354公式(128),(129)提示:机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院作业P2104,5,9,14,18,20,21,22第四节目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院备用题.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院方法2(先换元,再分部)令则故机动目录上页下页返回结束9/16/2021阜师院数科院