换元积分法及分部积分法.doc

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1、.8.2换元积分法与分部积分法（4时）【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法．定理8．4(换元积分法)设g()在上有定义，在上可导，且，并记(i)若在上存在原函数，则在上也存在原函数，即(ii)又若则上述命题(i)可逆，即当在上存在原函数F()时，g()在[]上也存在原函数G()，且G()=，即．证（i）用复合函数求导法进行验证：所以以为其原函数，(1)式成立．(ii)在的条件下，存在反函数，且..于是又能验

2、证（2）式成立：．口上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式)．下面的例1至例5采用第一换元积分法求解．在使用公式(1)时，也可把它写成如下简便形式：例1求解由可令则得例2求解..对换元积分法比较熟练后，可以不写出换元变量，而直接使用公式.例3求解例4求解例5求解[解法一]利用例4的结果可得[解法二]=．这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来．从以上几例看到，使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式..凑成的形式，以

3、便选取变换，化为易于积分的．最终不要忘记把新引入的变量还原为起始变量．第二换元公式(2)从形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式(最终同样不要忘记变量还原)，以下例6至例9采用第二换元积分法求解．例6求.解为去掉被积函数中的根式，取根次数2与3的最小公倍数6，并令,则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分：.例7求解令(这是存在反函数的一个单调区间)．于是例8　求.解令,(同理可考虑的情况)，于是有..　　　　借助辅助直角三角形，便于求出，，故得例9求解令，，于是有有些不定积分还可采用两种换元方法来计算．例10求解[解法一]

4、采用第一换元积分法：　　　　　..　　　　　［解法二]采用第二换元积分法(令)：　　　　二分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法．定理8.5（分部积分法）若与可导，不定积分存在，则也存在，并有=（3）证由或，对上式两边求不定积分，就得到(3)式．公式(3)称为分部积分公式，常简写作（4）例11求.解令，，则有由公式（3）求得例12求.解令，，则，，由公式（3）求得例13求解令，由公式（4）则有..有时需要接连使用几次分部积分才能求得结果；有些还会出现与原不定积分同类的项，需经移项合并后方能完成求解．现分别示例如下例14求解例15求和解，.由此得到解

5、此方程组，求得作业：1（2）（5）（7）（10）（16）（20）（27）2（1）（2）（8）（9）.