导数在研究函数中地应用 复习专题word 有问题详解 重点中学用.doc

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1、第十一讲导数在研究函数中的应用知识要点1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数在区间可导，（1）如果恒，则函数在区间上为增函数；（2）如果恒，则函数在区间上为减函数；（3）如果恒，则函数在区间上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数的定义域；②求导数；③解不等式，解集在定义域的不间断区间为增区间；④解不等式，解集在定义域的不间断区间为减区间。反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值围）：设函数在区间可导，(1)如果函数在区间上为增函数,则(其中使的值不构成

2、区间)；(2)如果函数在区间上为减函数,则(其中使的值不构成区间)；(3)如果函数在区间上为常数函数,则恒成立。2.求函数的极值：函数的极值的定义：设函数在及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有（或），则称是函数的极小值（或极大值）。求函数单调性步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的全部实根，，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，和值的变化情况：x………正0负负0负增极大值减减极小值减（4）检查的符号并由表格判断极值。左正右负极大；左负右正极小3.求函数的最大值与最小值：函数最

3、大值与最小值定义：如果函数在定义域I存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域极值不一定唯一，但在定义域的最值是唯一的。求函数在区间上的最大值和最小值的步骤：（1）求在区间上的极值；（2）将第一步中求得的极值与比较，得到在区间上的最大值与最小值。4.解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。的值域是闭区间时，不等式恒成立的充要条件是，；不等式恒成立的充要条件是。的值域是开区间时，不等式恒成立的充要条件是；不等式恒成立的充要条件是。（2）证明不等式可转化为证

4、明，或利用函数的单调性，转化为证明。典例精析例1.求下列函数的导数（1）(2)（3）例2．已知函数，①求函数的单调区间；②求函数的极值，并画出函数的草图；③当时，求函数的最大值与最小值.例3．讨论函数y=x－2sinx在(0，2π)的单调性.例4．已知函数（I）当的单调区间和极值；（II）若函数在[1，4]上是减函数，数a的取值围。例5.（1）（市2016届高三1月调研）已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当(是函数的导函数)成立,若，，,则的大小关系是(）A．B．C．D．（2）.已知函数是定义在R

5、上的奇函数，，，则不等式的解集是例6.（05理）已知向量=(,)，=(,)，若在区间(-1,1)上是增函数，求的取值围.例7.已知函数存在单调减区间求的取值围。例8.　已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，数a的取值围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．例9.　已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；

6、(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值围．例10.已知函数为自然对数的底数）（1）求的单调区间，若有最值，请求出最值；（2）是否存在正常数，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。参考答案例1.（1）(2)（3）例2．解：①由，得，函数单调递增；同理，或函数单调递减.②由①得下表：—0+0—单调递减极小值f(-2)单调递增极大值f(2)单调递减极小值=-16，极大值=16.由f(-x)=-f(x)，

7、知f(x)是奇函数，得草图如图所示：③结合①②及，得下表：—0+端点函数值f(-3)=-9单调递减极小值f(-2)=-16单调递增端点函数值f(1)=11比较端点函数及极值点的函数值，得极小值=f(-2)=-16,例3．解：∵y’=1－2cosx,x∈(0,2π)，由y’>0，得

8、II）由又函数为[1，4]上单调减函数，则在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立。即在[1，4]上恒成立。又在[1，4]为减函数，所以所以例5.（1）（市2016届高三1月调研）已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当(是函数的导函数)成立,若，，,则的大小关系是(A）A．B．C．D．　（2）.已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式的解集是例