导数在函数中的应用专题复习

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1、导数在函数中的应用专题复习一、考情分析根据高考通常是在知识的交汇点处命题这一特点，导数能与许多数学知识构成广泛的联系，特别是与函数、数列、平面向量、三角，因此导数的“交融性”在高考中尤为突出，导数的综合题仍将是今后高考数学命题的重点和热点．函数与导数相结合的考查既有基础题也有综合题。基础题以考查基本概念与运算为主，主要考查函数的图象、性质及导数的相关知识；综合题一般是以三次函数、指数函数与对数函数为载体，主要考察综合应用知识的能力。基本题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)以函数为载体的实际应用题，通常是首先建立所求量的目标函数，

2、再利用导数进行求解.本文结合2011年高考题说说导数在函数中的应用。二、主干知识整合1、导数的几何意义：在处导数即为所表示曲线在处切线的斜率,即,此时曲线在点处的切线方程为:.作用:确定处切线的斜率(在已知表达式的情况下),从而确定切线方程.2、用导数研究函数的单调性：在区间内可导，若>0，则在上递增;若<0，则在上递减.注意：为正（负）是函数递增（减）充分不必要条件。如果函数f(x)在区间（a,b）内可导且不是常函数，上述结论可以改进为：f(x)在区间（a,b）上单调递增≥0在（a,b）上恒成立；f(x)在区间（a,b）上单调递减≤0在（a,b）上恒

3、成立3、用导数研究函数的极值：是函数极值点则；但是，不一定是极值点（还要求函数在左右两侧的单调性相反）；若（或）恒成立，则函数无极值。4、用导数研究函数在闭区间上的最值：一般是先确定函数在上的极值，再将极值与区间端点的函数值比较以确定最值。三、考查方向探析考查方向一：以函数为依托的小综合题主要考查函数、导数的基础知识和基本方法.在近年的高考命题中多以选择、填空题的形式出现，内容上日趋综合化，解题方法上日趋多样化.例1、(2011年高考湖南卷理科8)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为A.1B.C.D.解析：将代入中，得到点的坐标分别为，，

4、从而对其求导，可知当且仅当时取到最小。故选D评析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，以及建立距离函数，用导数法求最值.例2、（2011年山东理9）函数的图象大致是AB.C.D.解析：函数为奇函数，且，令得，由于函数为周期函数，而当时，，当时，，则答案应选C。考查方向二：曲线的切线问题主要考查导数的几何意义，待定系数法，推理论证与运算求解能力．题型日趋综合化。例3、（2011年山东文4）曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（A）-9（B）-3（C）9（D）15解析：因为，切点为P（1,12），所以切线的斜率伟3，故切线方程为3x

5、-y+9=0,令x-=0，得y=9，故选C例4、(2011年高考全国卷理科8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)(B)(C)(D)1解析：，，切线方程为由则故选A考查方向三：求参数范围主要考查导数与方程、不等式、数列等的结合。是高考中函数与导数综合题的主流题型．例5、(2011年高考安徽卷理科16)设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。解析：（1）当时，，由得解得由得，由得，当x变化时与相应变化如下表：x+0-0+↗极大值↘极小值↗所以，是函数的极大值点，是函数的极小

6、值点。（2）因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数恒成立，即在上恒成立，因此，结合解得评析：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。例6、(2011年高考全国新课标卷理科21)已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。分析：（1）利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围。解：（Ⅰ），由题意知：即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，设则，⑴如果，由知，当时，，而故

7、，由当得：从而，当时，即⑵如果，则当，时，而；得：与题设矛盾；⑶如果，那么，因为而，时，由得：与题设矛盾；综合以上情况可得：评析：本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用及分类讨论的思想考查方向四：导数在实际问题中的应用主要考查将实际问题转化为数学模型的能力.利用导数求最值，解决某些简单的优化问题。例7、（2010年山东理21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形

8、部分每平方米建造费用为（）千元．设该容器的建造费用为千元．（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函