数学物理方法 刘连寿著 第三版 课后答案set12.pdf

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1、第十二章积分变换法⎧cos2πγt当tT<012.1.1．试求有限波列ft()=⎨的傅立叶变换c()ω.⎩0当tT≥1+∞itω解：f()tc=∫()ωedω2π−∞+∞−itωcf()ω=∫()tedt−∞+T=−cos2πγtt(cosωitsinω)dt∫0−TT=+2[cos(2πγω)tt+cos(2πγ−ω)]dt∫000sin(2πγ+−ω)TTsin(2πγω)00=+22πγ+−ωπγω0012.1.2.试求阻尼正弦波−αt⎧etsin2πγt>0∼0ft()=⎨的傅立叶变换f()ω。⎩0t<01+∞itω解：f()tc=∫()ωedω

2、2π−∞∼+∞∞−−itωαt−itωf()ωπ==eftd()tesin2γtedt∫∫0−∞01∞⎡⎤it()2πγ−−ωα−⎡⎤⎣⎦it()2πγ0−+ωα=−∫{}ee⎣⎦0dt2i02πγ0=22()()2πγ0++αiω112.1.3．求函数fx()=（a>0）的傅立叶变换。22ax+−ikx∞∞e−ikx解：ck()==fxedx()dx∫∫−∞−∞ax22+为应用留数定理，要分别讨论k<0及k>0情形。(1)k<0ikx∞eck()==dx2Re()πisFia∫−∞ax22+ikzikiaeeπ−ka==22ππii=e22az+2ia

3、azia=(2)k>0∞∞ee−ikx用代−x替xikxck()==dxdx()−∫∫−∞ax22++−∞ax22ikx∞eππ−ka−ka==dx()e=e∫−∞ax22+aaπ−ka综合：ck()=easinax12.1.4.求函数fx()=的傅立叶变换，a为正实数。x∼∞∞−−ikxsinaxikx解：f()kf==∫∫()xedxedx−∞−∞x∞∞sinaxsinaxcoskx=−∫∫(coskxisinkxdx)=2dx−∞xx0∞∞sin(akx+−)sin(akx)=+∫∫dxdx00xx由留数定理：⎧π,0b>⎪2∞sinbx⎪∫dx=

4、=⎨0,b00x⎪π⎪−,0bbb<(将=−代入）⎩2⎧π，当a>k>0或k<0且a>k⎪∼⎪πfk()=⎨，当a=k>02⎪⎪0,当k>a>0或k<0且a

5、ππ−−i()44β=eβ2∼−−()kπ2πiππk44β∴=fk()Re[e]=cos(−)ββ44β直接积分也可以得到相同的结果。方法二：∼∞2−ikxfk()=∫cosβxedx−∞22kk22kk∞∞∞ixββ()−−i∞ix()++i111ixikxββ22−−ixikx−24ββ124ββ=+=∫∫∫edxedxedxe+∫dx222−∞−∞−∞2−∞2222kkkk1111−−ii44ββ∞∞iiξξ22ξξ−−ii44ββ∞iξ2∞iξ2=+=+ee∫∫deedee∫∫deeξdξ22−∞ββ−∞ββ0−∞2222kkππkππk1−−

6、ii4ii44ππ114*πi()()44−i44−ββββ=ee+=ee()[e+e]β22ββ22ππk=−cos()ββ44π∞2iπ用edeiξξ=4∫026.试导出傅立叶正余弦变换和逆变换。∞⎧ck()=fx()sinkxdxs∫⎪0⎨2∞⎪f()xc=()sinkkxdk∫s⎩π0∞⎧ck()=fx()coskxdxc∫⎪0⎨2∞⎪f()xc=()coskkkxd∫c⎩π0证：∞∞11∞f()xf=+∫∫{[()cosξξkdξ]coskx[∫f()cosξξkdξ]sinkx}dk0π−∞π−∞（1）若f(x)为奇函数⎧Ak()0=⎪2⎨2

7、∞令B(k)=cks()⎪Bk()=∫f()sin()ξξkdξπ⎩π0则∞⎧ck()=fx()sinkxdxs∫⎪0⎨2∞⎪f()x=ck()sinkxdk∫s⎩π0（2）若f(x)为偶函数⎧2∞⎪Ak()=∫f()cosξξkdξ2⎨π0令A(k)=ck()c⎪=πck()0⎩s则∞⎧ck()=fx()coskxdxc∫⎪0⎨2∞⎪f()xc=()coskkxdk∫c⎩π0−ax7．求f()xe=傅立叶正余弦变换，其中，a>0。2∞（一）f()xc=+[()kcokxc()sin]kkxdk∫csπ0解：fx()既不是奇函数也不是偶函数，则c及均不为

8、零。ccs∞−axck()=esinkxdxs∫01∞()ikax−−()ika