数学物理方法答案(5) 刘连寿

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1、第五章二阶线性常微分方程5.1二阶线性常微分方程解的一般性质5.2常点邻域内的幂级数解法1.求厄米特方程20z，为待定参数()，在z0的邻域内的级数解。解：（1）级数的形式。由于p()zz2和qz()在z0解析，故z是00厄米特方程的常点。级数解具有下述形式k()zCkz（1）k0（2）系数递推公式。将（1）式代入厄米特方程，由同次幂项系数之和为零，得kk21kCkkkk(1)z2zCkzCkzk0（2）kk00k0在第一个求和公式中，k=0，1项均为零，故可将通

2、项中的求和指标加2，相应地将求和号中的求指标减2，得kk2Ckkkk(1)zC2(2k)(1k)zkk20这样（2）式可写成k(2kkCkC)(1)(2)z0kk2k0由于上式在的邻域内点点成立，故z的同次幂项的系数和为零，即z0(2kkCkC)(1)(2)0kk2整理后即得待定系数的递推公式2kCC（3）k2k(2kk)(1)（3）归纳出通项表达式，得级数解。由（3）式可见，偶次幂项系数与奇次幂项系数是互不相干的，可以分别用C和C表示012(2kk2)

3、44CCC22kk22k22(21)kk2(21)kk(4kk4)2(222)C222k2(kk21)(22k)(221k)(4kk4)(48)C24k2(2kk1)(2k2)(2k3)(4kk4)(48)(4)()C0(2)!k(4kk2)(46)(6)(2)CC2k1(2k1)!（4）线性无关的解为22kk102()zCkkzzC,()121zkk00厄米特方程的通解是()

4、z与()z的线性组合012.试用级数解法求在z0邻域内艾里方程z0满足初始条件0(0)1,(0)0的解。解：1.解的形式系数p()0,()zqzz在z0解析，z是方程的常点00解的形式为：kwz()czkk02.系数递推公式将wz()代入方程kk21kk(1)czkkcz0kk20k2[ckk22(2)(1)]ckkc1z0k1cck1k3cc0,即c22kk(2kk)(1)kk(1)c33k亦即c3k3(31)kk（1）用c表示

5、c03kcc133kk36c3k3(3kk1)3(3kk1)(3k3)(3k4)1c03(31)(33)(34)6532kkkk（2）用c表示c131kcc132kk35c31k3(3kk1)3(3kk1)(3k2)(3k3)1c1(31)3(32)(33)7643kkkk（3）因c0，故cc02583.方程的通解33kk1czcz01wz()c0zkk113(31)6532kk(31)3kk76434.由初始条件

6、定cc,010(wc0)由01(wc0)131kz得解：wzz1()k1(31)3kk7643