数学物理方法(刘连寿第二版)第06章习题[1]

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1、第六章习题答案6.1-1求解下列本征值问题的本征值和本征函数。（1）（2）（3）（4）解：（1）时，，代入边界条件得和得到，不符合，所以时，，代入边界条件得，所以：（2）时，，代入边界条件得和，所以存在。时，，代入边界条件得，综合：本征值：本征函数：（3）时，，代入边界条件得和，不符合。时，，代入边界条件得第37页共37页，本征函数：（4）时，，代入边界条件得和，得到，故。时，，代入边界条件得解得：得，所以本征函数：6.1-2单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放。试求管内空气柱的本征振动，即求解定解问题。解：设,代入原方程有：∴代入边界条件有:和(1)先求解

2、本征值问题第37页共37页时,有，代入不成立设代入(2)再求即可得故单簧管的振动为：6.1-3一根均匀弦固定于和两端,假设初始时刻速度为0,而初始时刻弦的形状为一条抛物线,其顶点为，求弦振动的位移。解:波动方程:初始条件:边界条件:设,分别代入方程和边界条件可得:和本征值问题的解为:而第37页共37页代入初始条件有:而它只有奇次谐波6.1-4演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手让其自由振动，设弦长为，被拨开的点在弦长（为正整数）处拨开距离，试求解弦的振动。解：设弦的位移为，则波动方程为：边界条件:初始条件:令，代入方程和边界条件得：和本征值问题的解为

3、:第37页共37页而代入初始条件有:所以：积分有：所以有6.1-5长为两端固定的弦，用宽为的细棒敲击弦上点，亦即在处施加冲力，设其冲量为，弦的单位长线密度为，求解弦的振动。解：波动方程：边界条件：初始条件:令，代入方程和边界条件得：和第37页共37页本征值问题的解为:而，所以代入初始条件有:积分：所以有：6.1-6长为的杆，一端固定，另一端受力而被拉长。求解杆在去掉力后的振动，设杆的截面积为，杨氏模量为。解：杆的纵振动为自由振动方程为边界条件：（自由端，形变为0）第37页共37页初始条件：，因为：在端，设伸长量为，则故在杆的其它任意一点，伸长量为（按比例伸长）求解此

4、定解问题，设，代入原方程和边界条件有：和求得本征值为：本征函数为：常微分方程为：所以：代入初始条件：而6.1-7长为的均匀杆，由于两端受压而使得长度为，放手后任其自由振动，求解杆的振动。解：波动方程：第37页共37页边界条件：（两端形变为0）初始条件：位移（表达式与坐标系和选取有关）速度下面讨论位移的表达式。左半边:位移为，处位移为0。设处伸长量为，按比例有：则右半边：位移为0，处位移为。则所以在整个范围内位移都可以表示为下面求解定解问题，设，代入方程和边界条件得：和，其中本征值问题的解为：本征值：本征函数：而，所以代入初始条件有：第37页共37页6.1-8长为的杆

5、，上端固定在电梯的天花板上，杆身竖直向下，下端自由。当电梯以速度下降时突然停止，求解杆的振动。解：波动方程：忽略重力边界条件：（下端自由，形变为零）初始条件：设,代入方程及齐次边界条件有：和，本征值问题的解为：本征值：本征函数：所以：代入初始条件有：积分：所以：第37页共37页6.2-1一个长宽均为的方形膜，边界固定，膜的振动方程为，求方形膜的本征频率。解：令，代入波动方程有：边界条件为：将代入上述边界条件得：令，，代入有：得到关于、的本征值问题：所以而关于的常微分方程为：所以周期，本征频率第37页共37页6.2-2有一长为,杆身与外界绝热的均匀细杆，杆的两端温度保

6、持摄氏零度，已知其初始温度分布，求在时杆上的温度分布。解:这是一个一维热传导问题，定解问题为：方程：边界条件：初始条件：设，将其代入热传导方程有：将代入边界条件有：先解本征值问题：得本征值，本征函数而代入初始条件有所以故第37页共37页6.2-3一长为的杆身和两端绝热，初始时，求其温度变化规律。解：热传导方程：边界条件：初始条件：设，代入方程和边界条件得：和解本征值问题可得：将代入含时的微分方程有：特解：所以：将上式代入初始条件有：积分有：（1）时，上式化为：（不要忘记此项）（2）时，因为所以有：故第37页共37页6.2-4一长为的细杆，杆身绝热，初始温度是均匀的，

7、让其一端温度保持0℃不变，另一端绝热，求杆上的温度分布。解：热传导方程：边界条件：初始条件：设，代入方程及边界条件，分离变量有：和解本征值问题可得：将代入含时的微分方程有：特解：所以：将上式代入初始条件有：积分有：即：6.2-5在铀块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的增殖过程，每秒钟在单位体积内产生的中子数正比于该处的中子浓度，从而可表为（表示增殖快慢的常数），研究厚度为的层状铀块，求其临界厚度。解：一维扩散方程为：假定边界条件为：第37页共37页设，代入扩散方程有：所以：将代入边界条件有：所以而故一般解为：若：，浓度随时间增加而增长，发生核爆炸；，浓度随